Kirish. Bir jinsli va umumlashgan bir jinsli differensial tenglamalar Asosiy qism

2.2 Chiziqli differensial tenglama xossalari.
1-xossa. Agar bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamaning bitta xususiy yechimi berilgan bo’lsa, uning umumiy yechimi bitta kvadratura bilan aniqlanadi.
Isbot. (2) tenglamaning yechimi bo’lsin,
Ya’ni (13)
(14)
almashtirishini olamiz. Bunda  yangi no’malum funksiyadir.
(14) dan (15)
(14) va (15) ga asosan (2) tenglama
yoki bundan

bu esa bir jinsli chiziqli differensial tenglama bo’lib, uning umumiy yechimi bitta kvadratura yordamida aniqlanadi. Bu topilgan  qiymatini (14) ga qo’ysak, (2) tenglamaning umumiy yechimiga ega bo’lamiz.
2-xossa. Agar bir jinsli chiziqli (3) tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda ham (3) tenglamaning yechimi bo’ladi.
3-xossa. Agar (2) tenglamaning ikkita xususiy yechimlar berilgan bo’lsa, uning umumiy yechimi kvadraturasiz ariqlanadi.
Haqiqatdan ham tenglamaning yechimi bo’lgani uchun

bularni hadlab ayirsak

bundan ko’rinadikim, bir jinslimas chiziqli differensial tenglamaning
2 ta xususiy yechimlar ayirmasi, bir jinsli tenglamaning yechimi bo’ladi.
U holda 1- va 2-xossaga asosan, (2) tenglamaning umumiy yechimi dan iborat bo’ladi.
Misol.1.


2.3 Bernuli tenglamasi.
Bernulli tenglamasining umumiy ko’rinishi (1)dan iborat
Agar bo’lsa, chiziqli tenglamaga, agar n=1 bo’lsa.
o’zgaruvchilar ajraladigan differensial tenglamaga ega bo’lamiz.
teng bo’lsin.
Bu holda (1) tenglamani almashtirish yordamida chiziqli tenglamaga keltirish mumkin.

1. 
   tenglamaning har ikkala tomonini ga bo’lamiz:
   

(2)
Bu tenglamada (3) almashtirishini olamiz.

Bularga asosan (2) tenglamani

bu esa chiziqli tenglamadir.
Ma’lumki uning umumiy yechimi
formula bilan aniqlanadi .
qiymatini (3) ga qo’yib , uni soddalashtirsak

Bernulli tenglamasining umumiy yechimiga ega bo’lamiz.
Keyingi tenglamani

ko’rinishda yozish ham mumkin.
Eslatma.1) Agar bo’lsa , Bernulli tenglamasi y=0 yechimga ega bo’ladi.
2) Bernulli tenglamasining yechimi , hech vaqt OX o’qini kesmaydi.