Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

Teorema. (1922-yil, E.Ayns). Agar boʻlsa, u holda Matye tenglamasi uchun qoʻyilgan davriy va yarimdavriy chegaraviy masalalarning barcha xos qiymatlari oddiy, ya’ni karrasiz boʻladi.
Demak, Matye potensiali holida operatorning barcha chekli spektral lakunalari ochiq, ya’ni boʻlar ekan.
Matye potensiali holida operator spektridagi lakunalar uzunliklari uchun asimptotik formula ilk bor, oʻzgarmas koʻpaytuvchi aniqligida, 1981-yilda E.Xarrel tomonidan olingan. Shu yilning oʻzida J.Avron va B.Saymon bu asimptotik formulani boshqa usulda keltirib chiqarishga va oʻzgarmas koʻpaytuvchining aniq qiymatini topishga muvaffaq boʻldilar.
Teorema. (1981-yil, J.Avron, B.Saymon). Matye tenglamasi lakunalarining uzunliklari uchun quyidagi
(30)
asimptotik formula oʻrinli.
1984-yilda X.Xoxshtadt yuqorida zikr qilingan asimptotik formulani nisbatan sodda usulda keltirib chiqardi. 2012-yilda B.Anatarchi va P.Djakov tomonidan Matye tenglamasi lakunalari uzunliklarining asimptotikasi yana bitta hadga aniqlashtirildi:
. (31)
Biz beshinchi bobda Matye tenglamasining lakunalari uzunliklarining asimptotikasini X.Xoxshtadt usulida oʻrganish bilan cheklanamiz.
Shuni alohida qayd qilish lozimki, ushbu
(32)
koʻrinishdagi tenglama -lakunasining uzunligi uchun quyidagi asimptotikalar oʻrinli:
1) Agar va boʻlsa, u holda asimptotika oʻrinli.
2) Agar va boʻlsa, u holda asimptotika oʻrinli.
3) Agar funksiya haqiqiy oʻqning biror atrofida golomorf boʻlsa, u holda ketma-ketlik eksponensial ravishda nolga intiladi, ya’ni

asimptotik formula oʻrinli. Bu yerda
, .
(32) koʻrinishdagi tenglama uchun keltirilgan yuqoridagi tasdiqlar M.V.Fedoryukning monografiyasida isbotlangan.
Yarim oʻqda berilgan Xill operatori uchun teskari spektral masala butun oʻqdagi teskari masaladan ancha farq qiladi. Bu holda, Xill operatorining potensialini tiklash bilan birgalikda chegaraviy shartni ham topish talab qilinadi.
Bu masala ilk bor chekli zonali juft potensiallar holida 1961-yilda N.I.Axiezer tomonidan, chekli zonali davriy potensiallar holida 1985-yilda X.Xoxshtadt va V.Goldberg tomonidan, umumiy chekli zonali potensiallar holida 1988-yilda B.M.Levitan va A.V.Savin tomonidan oʻrganilgan.
Chekli zonali potensialli Shturm-Liuvill operatori uchun chegaraviy shartni spektral berilganlar orqali topish formulasi ilk bor B.M.Levitan va A.V.Savin maqolasida keltirib chiqarilgan.
Yarim oʻqda berilgan Xill operatori uchun toʻgʻri va teskari spektral masalalar qoʻllanmaning oltinchi bobida oʻrganilgan.
Endi teskari spektral masalalarning ayrim tatbiqlariga toʻxtalamiz.
1967-yilda K.Gardner, J.Grin, M.Kruskal, R.Miura zamonaviy matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biri boʻlgan ushbu

nochiziqli Korteveg-de Friz tenglamasiga qoʻyilgan Koshi masalasining yechimini tez kamayuvchi funksiyalar sinfida topishga muvaffaq boʻldilar. Bunda ular butun oʻqda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun L.D.Faddeyev tomonidan oʻrganilgan sochilish nazariyasining toʻgʻri va teskari masalalarini yechish usulidan foydalandilar. Natijada Shturm-Liuvill operatori uchun qoʻyilgan toʻgʻri va teskari masalalarni oʻrganishga boʻlgan qiziqish yanada ortdi va nochiziqli evolyutsion tenglamalarni yechishda teskari masalalar usuli kashf qilindi.
1974-yilda S.P.Novikov tomonidan Korteveg-de Friz tenglamasining va bu tenglama yuqori tartibdagi umumlashmalarining har bir statsionar davriy yechimi chekli zonali potensial boʻlishi va u kvazidavriy funksiya ekanligi koʻrsatilgan.
N.I.Axiezerning 1961-yildagi maqolasining asosiy gʻoyasidan foydalanib 1975-yilda A.R.Its va V.B.Matveyev chekli zonali potensiallar uchun oshkor formula topishga muvaffaq boʻldilar.
Umumiy holda Xill operatori uchun teskari masala I.V.Stankevich, V.A.Marchenko, I.V.Ostrovskiy, X.P.Mak-Kin, E.Trubovislar tomonidan batafsil oʻrganilgan.
S.P.Novikov, B.A.Dubrovin, V.B.Matveyev, A.R.Its, V.A.Marchenko, P.Laks, X.P.Mak-Kin, E.Trubovis, B.M.Levitanlar Korteveg-de Friz tenglamasining yechimini chekli zonali, davriy va cheksiz zonali deyarli davriy funksiyalar sinfida topishga muvaffaq boʻldilar.
Moslangan manbali Korteveg-de Friz tenglamasi uchun Koshi masalasi tez kamayuvchi funksiyalar sinfida ilk bor 1988-yilda V.K.Melnikov, zinasimon funksiyalar sinfida 2001-yilda G‘.O‘.O‘razboyev, kompleks qiymatli tez kamayuvchi funksiyalar sinfida 2007-yilda U.A.Xaitmetov, davriy funksiyalar sinfida esa 2010-yilda A.B.Yaxshimuratov tomonidan yechilgan.
Mazkur kitobning sakkizinchi bobida teskari masalalar usuli yordamida Korteveg-de Friz tenglamasi va uning yuqori tartibdagi umumlashmalari uchun qoʻyilgan Koshi masalasining yechimi davriy funksiyalar sinfida topilgan.
Ushbu monografiyani yozishda E.Ch.Titchmarshning “Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка” (том II, 1961), B.M.Levitanning “Обратные задачи Штурма-Лиувилля” (1984), V.A. Marchenkoning “Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения” (1977), W.Magnus, W.Winklerlarning “Нill’s equation”(1966), M.S.P.Easthamning “The spectral theory of periodic differential equations” (1973) kitoblaridan hamda muallifning 1994-2012-yillar davomida UrDU “Fizika-matematika” fakulteti talabalari va magistrantlariga maxsus kurs va tanlov fanlaridan oʻqigan ma‘ruzalaridan foydalanildi.
Bu kitobning asosiy maqsadi oliy oʻquv yurtlarida matematika, tatbiqiy matematika va informatika, mexanika va fizika bakalavr yoʻnalishlari boʻyicha tahsil olayotgan talabalarda “Xill operatori spektral nazariyasining toʻgʻri va teskari spektral masalalari”ga boʻlgan qiziqishni oshirishdan iborat.
Mazkur kitobni yozilishida bergan qimmatli maslahatlari uchun OʻzRFA akademiklari Sh.A.Alimov va M.S.Salohiddinovlarga, professorlar R.R.Ashurov va A.Sh.Qoʻchqorovlarga hamda kitob matnini tahrir qilishda bergan yordamlari uchun “Amaliy matematika va matematik fizika” kafedrasida ishlayotgan barcha shogirdlarimga va kitob matnini terishda bergan yordamlari uchun A.A.Reyimberganov va M.M.Ro’zmetovlarga samimiy minnatdorchilik bildiraman. Kitobxonlarning kitob toʻgʻrisidagi tanqidiy fikr va mulohazalarini mamnuniyat bilan qabul qilaman.


[e-mail] Muallif