Yaqinlashuvchi qatorning qoldig’i

14-misol. Qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartidan foydalanib

qatorni tekshiring.
Yechilishi. bo`lib, n>m bo`lganida

va

=
Ixtiyoriy >0 uchun m ni tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib tanlaylik. Tengsizlikni yechsak

bo`lib, M= deb olsak, n>m>M bo`lganida

tengsizlik bajariladiki, natijada tekshiriluvchi qator yaqinlashuvchidir.
15-misol. Garmonik qatorning uzoqlashishini qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartini tekshirish bilan ko`rsating.
Yechilishi. Garmonik qator uchun

bo`lib, natijada


ayirma n ning barcha qiymatlarida doimo dan katta bo`lgani uchun bo`lganda qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartida aytilgan M son topilmaydi.
Qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartini ifodalovchi yuqoridagi teorema nazariy jihatidan ko`p narsalar berishiga qaramasdan, amalda, misollar yechishda tadbiq qilish anchagina noqulaydir.
Shu sababli qatorning ayrim sinflari bilan ishlash zaruruyati tug`iladiki, bu sinflar uchun yuqoridagi teorema soddaroq ko`rinishni oladi. Shunday sinflardan biri musbat qatorlardir.
Musbat qatorlar.
Musbat qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli sharti.
Qisqacha Musbat qator deb ataluvchi, ya`ni hamma hadlari musbat bo`lgan
(1)
qatorni qaraylik.
Bunday qatorning xususiy yig`indilari ketma-ketligi hadlari musbatligiga ko`ra monoton o`suvchidir, ya`ni
(
Monoton o`suvchi ketma-ketlik limitining mavjudligi haqida Veyershtrass teoremasiga ko`ra
Teorema. Musbat (1) qator doimo yig`indigo ega; agar qatorning xususiy yig`indilari ketma-ketligi ( yuqoridan chegaralangan bo`lsa (qator yaqinlashib), bu yig`indi chekli, aks holda (qator uzoqlashib) yig`indi cheksizdir.