Задача. Даны законы поступательного движения тела по осям и :. Найти уравнение траектории

Задача 8. Кинетическая энергия вращающегося маховика зависит от времени по закону: Е_кин = 240 t⁴ , Дж. Найдите его момент импульса и вращающий момент сил через время t = 2 c после начала движения. Момент инерции маховика равен 20 кг·м². Ответ: 400 Дж∙с, 400 Н∙м.
Решение.
Используем формулу кинетической энергии вращающегося тела и подставим в условие задачи:

Откуда

Найдем зависимость углового ускорения от времени:

Найдем угловую скорость через время t = 2 c после начала движения:
Момент импульса тела

Найдем угловое ускорение через время t = 2 c после начала движения:
Вращающий момент сил

Задача 14. Намотанная на нить катушка висит на этой нити. Нить расположена строго вертикально. Катушка расположена строго горизонтально. Масса катушки 25 г, ее момент инерции равен 3,6∙10^-6 кг∙м². Радиус катушки равен 1,5 см. Катушка сматывается с нити без скольжения. Ускорение свободного падения примите равным 9,8 м/с². Найдите ускорение катушки. Ответ: 6,0 м/с².


Решение.
Исходя из условия задачи, мы знаем, что линейное ускорение цилиндра будет направлено вертикально вниз, и что при этом он будет вращаться по часовой стрелке, и при этом его угловое ускорение также будет направлено по часовой стрелке. Сделаем рисунок.
































На цилиндр действуют два тела: Земля и нить. Активной силой является сила, с которой Земля действует на цилиндр. Эта сила есть сила тяжести . Она направлена вертикально вниз. Сила тяжести тянет цилиндр вертикально вниз. Цилиндр при этом растягивает нить.
В ответ на свое растяжение нить действует на цилиндр с силой реакции , направленной вдоль нити вертикально вверх.
Применим уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

Исходя из условия задачи, мы знаем, что линейное ускорение цилиндра будет направлено вертикально вниз. Поэтому запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось, совпадающую с направлением ускорения, то есть вертикально вниз. Это первое уравнение справа от рисунка.
Этого уравнения недостаточно для решения задачи, поскольку в нем две неизвестных величины: и . Это естественно, потому что цилиндр еще и вращается. Поэтому запишем уравнение второго закона Ньютона для вращательного движения в проекции на направление вращения. Это второе уравнение справа от рисунка.
Появилось новая неизвестная величина – угловое ускорение . Формула связи между угловым и линейным ускорением (третье уравнение справа от рисунка) замкнет систему уравнений.
После преобразований, сделанных справа от рисунка, мы получили решение задачи, то есть нашли формулы для расчета линейного ускорения цилиндра.
Посчитаем величину линейного ускорения цилиндра:

Если цилиндр сплошной, применим формулу для расчета момента инерции сплошного цилиндра: Получим для расчета ускорения

Задача 19. Найдите зависимость скорости цилиндра от времени, если он скатывается с наклонной плоскости с углом наклона  = 30⁰ к горизонту. Масса цилиндра m = 3 кг, его момент инерции равен 2 кг·м², радиус R = 0,8 м. Ускорение принять равным 9,8 м/с². Ответ: 2,4 t, м/с.