Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона давлат университети

3-таъриф. Сон ўқида ётган ҳар қандай Е то'плами учун

функция, Е тўпламининг тавсифловчи функцияси дейилади.
**-расмда оралиқнинг тавсифловчи функция тасвирланган.

**-расм. тавсифловчи функция (а) чекланган поғонали функция(в)

4-Таъриф. Бутун сонли ўқда аниқланган функция, агар у , жуфтлик ўзаро кесишмайдиган ярим интервалларни тавсифловчи функцияларининг сонли чизиқли бирикмаси бўлса, у холда
(55.7)
шаклда ифодаланган бўлса чекланган поғонали функсияси дейилади
бу ерда – интервални тавсифловчи функция, – эса бир қанча ҳақиқий сонлар **-расм. в
Кў'риниб турибдики, агар биз ярим интервалларни, , , жуфтлик билан кесишмаслигини талаб қилмасак, унда биз тенг келадиган тъ'рифни оламиз. Бу шундан келиб чиқадики, кў'риб чиқилган чегараланган ярим интервалларнинг чекланган сонининг кесишиши ҳам бир хил турдаги ярим интервал ҳисобланади.
Маълумки, (55.7) шаклнинг ҳар қандай функсияси чекланган.
Сонли поғонали функсияси бутун сон ўқи бўйича интегралланади ва агар у (55.7) формула билан берилган бўлса, у ҳолда
.
Миссол. Интервалдаги ҳар қандай узлуксиз функсиялар, ташувчилари бир хил интервалгача тегишли бо'лган, чекланган поғонали функсияларининг бир хил яқинлашувчи кетма-кетлигининг чегараси эканлигини исботланг. Мисолни ечишда қуйидаги леммадан фодаланамиз
Лемма. Чегаралари а ва б, бо'лган чекланган ёки чексиз оралиқда абсолют интегралланадиган ҳар қандай функсия учун чекланган поғонали функсия , бо'ладиган сонли функсиялар кетма-кетлиги мавжуд, бу ерда
1) б
2) .
Исбот: функцияси а ва b сў'нгги нуқталари билан интервалда абсолют интеграллашувчи бо'лсин. Аниқлик учун уни ҳар қандай , оралиг'ида интегралланадиган деб ҳисобланг (абсолют интегралланадиган функсиянинг умумий ҳолати, 55.1 га қаранг, осонгина бунга эришиш мумкин). Кейин, хосмас интегралнинг та'рифига ко'ра, ҳар қандай тайинланган сон учун
(55.8)
га тенг ξ ва η рақамлар мавжуд.
ф функсияси Риман оралиқда интегралланади ва шунинг учун агар оралиқнинг қисмига то'г'ри келадиган ф функсиясининг пастки Дарбу йиг'индисини билан белгиласак, у ҳолда
,
бу ерда – қисмининг майдалиги. Шунинг учун, оралиқнинг бо'лими мавжуд, агар – қисмга мос келадиган ф функсия учун Дарбу йиг'индиси, я'ни
, , ,
бо'лса, у ҳолда
,
бу эрда – юқорида ко'рсатилган сон.
Айтайлик
(55.9)
Кўиниб турибдики, – чекланган поғонали функсия,
и .
Бундан,
, (55.10)
Бундан ташқари , унда
.
(55.8) ва (55.10) тенгсизликлардан қуйидаги формулани оламиз:
.
Масалан, ни о'рнатиб ва тегишли сонли поғонали функсияларини φ_н, н=1,2,…, билан белгилаб, биз лемманинг тасдиг'и бажариладиган φ_н чекланган поғонали функсиялар кетма-кетлигини оламиз.
Теореманинг исботи. – яриминтервалнинг тавсифловчи функсияси бўлсин. У ҳолда ихтиёрий интервал учун

эга бўламиз, чунки
, .
Ҳар қандай чекланган поғонали функсияси ко'риб чиқилаётган шаклдаги ярим интервалларнинг сонли сонли характерли функсияларининг чизиқли бирикмаси бо'лганлиги сабабли, теореманинг баёноти ҳар қандай чекланган поғонали функсияси учун ҳам амал қилади.
Агар энди ф функсияси а ва б, учлари билан интервалда абсолют интегралланадиган бо'лса, у ҳолда ҳар қандай ε > 0 сони учун, лемма бо'йича,

каби ж чекланган пог'онали функсияси мавжуд.
Ушбу поғонали функсияси учун (поғонали функсиялари учун теорема аввал исботланганлиги сабабли) мавжуд, учун

Шунинг учун, айниятдан фойдаланган ҳолда, учун

ни келтириб чиқарамиз.
Бу эса, ни билдиради.
Ҳудди шу йўсинда
эканлиги исботланади.