Ózbekstan respublikasí joqarí HÁm orta arnawlí bilimlendiriw ministrligi

4–§. Irratsional teńlemelerdi sheshiwdiń ayırım standart emes usılları
İrratsional teńlemelerdi sheshiwdiń standart emes usılların qarawdan aldın, standart máseleler (teńlemeler) standart emes máseleler (teńlemeler) hám olardı sheshiwdiń standart emes usılları degenimiz ne degen sorawǵa juwap beriwimiz kerek.

1. 
   Standart máseleler (teńlemeler) degenimiz ne? Bizge mektep kursı matematikasınan belgili, máselelerdiń tikkeley sheshimleri adımlardıń (hárekettiń, ámellerdiń) izbe-izliginen turadı. Sonlıqtan usı izbe-izlikti izlew (adımlardı izlew) máseleni sheshiw ushın ne islew kerek degen sorawǵa juwap beredi.
   
2. 
   Matematika kóplegen túrdegi máseleler ushın qaǵıydalar dúziw (ornatıw) menen shuǵıllanadı. Bul qaǵıydalar menen berilgen túrdegi qálegen máseleni sheshiw ushın kórsetilgen izbe-iz adımdı tabıw múmkin. Kópshilik máseleler ushın bunday qaǵıydalar burınnan belgili hám olar mektep kurs matematikasında úyrenilmekte.
   
3. 
   Mektep kurs matematikasında matematikalıq máselelerdi sheshiw ushın tayar qaǵıydalar (qálegen orında formulalar, birdeyliklerdi h.t.b) bar bolǵan yamasa bul qaǵıydalar tikkeley qandayda bir anıqlamadan yamasa teoremadan kelip shıǵatuǵın, izbe-iz adım túrinde bul máselelerdi sheshiw programmasın anıqlaytuǵın matematikalıq máselelerdi standart máseleler deymiz.
   

1-mısal.

teńlemesi sheshilsin.

Bul teńlemeni sheshpesten bul qanday teńleme ekenligin bilip alayıq. Bunıń ushın mına anıqlamadan paydalanamız.

Anıqlama. Belgisizleri koren astında bolǵan teńlemeler irratsional teńlemeler delinedi.

Demek, berilgen teńleme irratsional teńleme eken.

Sheshimi: Berilgen teńlemeniń anıqlanıw oblastın tabamız. Olar mına teńsizlik sisteması boyınsha tabıladı.

Demek, bul irratsional teńlemeniń anıqlanıw oblastı eken.

Endi berilgen teńlemeniń eki jaǵın kvadratqa kóteremiz. Bul qaǵıyda boyınsha berilgen irratsional teńleme, ratsional teńlemege aylanıwı kerek.

Bunı kvadratqa kóterip túrlendirgennen keyin mına teńlemege iye bolamız.

İrratsionallıqtan qutılıw ushın jáne kvadratqa kóteremiz hám bir qansha túrlendiriwden keyin

64x=320

ratsional teńlemesine iye bolamız. Onıń sheshimi x=5.

Bul teńlemeni basqa usıl menen de sheshiw múmkin:

qısqasha kóbeytiw formulalarınan paydalanıp

Egerde birneshe kóbeymeler 0-ge teń bolsa, onda eń keminde olardıń birewi 0 ge teń degen anıqlamadan paydalanıp

1)

2)

teńlemelerine iye bolamız. Bunda ekinshi teńleme sheshimge iye emes, sebebi eki (irratsional) kvadrat koren astındaǵı sannıń qosındısı teris san bolmaydı, al birinshi teńlemeniń sheshimi bizge belgili x=5.

2-mısal.

teńlemesin sheshiń

Bul radikal belgisi astında kvadrat úsh aǵzalısı bar irratsional teńleme. Bul teńlemeni sheshiwdiń eki usılın qarap ótemiz:

1-usıl. Bunı biz biletuǵın eki jaǵın kvadratqa kóterip berilgen teńlemege teń kúshli teńleme hasıl etiw jolı menen sheshemiz. Onıń ushın birinshi radikaldı shep jaǵında qaldırıp, ekinshi radikal teńlemeniń ekinshi jaǵına shıǵarıp

teńlemesine iye bolamız.

hám dep esaplap

teńliktiń eki jaǵın kvadratqa kóteremiz.

Teńliktiń shep jaǵına radikal ańlatpanı, al oń jaǵına qalǵan aǵzaların jıynaymız.

Bunnan qaladı. Bul teńliktiń eki jaǵın da kvadratqa kóterip mınaǵan iye bolamız.

Bunnan qawsırmanı ashıp hám uqsas aǵzaların jıynaǵannan keyin

teńlemesine iye bolamız.

Bul teńlemeni sheshkennen keyin x_q=1, x_w=49/9 sheshimlerin tabamız. Bul tabılǵan sheshimlerdi berilgen teńlemege qoyıp teksergenimizde, berilgen teńlemeniń sheshimi x₁=1 ekenligi anıqlanadı, al x_w=49/9 sheshimi kvadratqa kóteriw nátiyjetsinde payda bolǵan jat sheshim bolıp esaplanadı.

2-usıl.

Berilgen teńlemeni onıń shep jaǵınıń túyinlesi menen kóbeytemiz.

Bunnan

iye bolamız.

Keyingi teńlemeni berilgen teńlemeden alamız.

Sonda

boladı.

Bunnan

yamasa

iye bolamız.

Bunı kvadratqa kóterip sheshkenimizde aldıńǵı usıldaǵıday x=1 sheshimine iye bolamız.

Joqarıda aytılǵanlardan standart emes máseleler dep olardı sheshiwdiń anıq programmasın anıqlaytuǵın matematika kursında ulıwmalıq qaǵıyda hám jaǵdaylar bolmaytuǵın máselelerge aytamız.

Qálegen standart emes máseleni (teńlemeni) sheshiw protsessin tiykarǵı eki operatsiyanı izbe-iz orınlawdan turadı:

1. 
   Standart emes máseleni basqa oǵan ekvivalent biraq, endi standart túrge engen máselege alıp keliw (túrlendiriw yamasa qayta formulirovkalaw jolı menen)
   
2. 
   Standart emes máseleni bir neshe standart máselelerge bóliw.
   

Standart emes máseleniń xarakterine baylanıslı biz bul operyatsiyalardıń birewin yamasa ekewinde paydalanamız. Quramalıraq máselelerdi sheshkende bul operatsiyalardı qayta-qayta paydalanıwǵa tuwra keledi.

Matematikada standart emes máselelerdi sheshiw ushın kórsetilgen eki operatsiyanı paydalanıw boyınsha qanday da bir ulıwma qaǵıyda joq. Matematika bunday qaǵıydalardı islep shıǵıw menen shuǵıllanbaydı, biraq mektep kursı matematiksında júdá kóp mısallardı bul operatsiyalardıń paydalanılatuǵının baqlawıńız múmkin.

Standart emes máselelerdi sheshiw ushın ulıwma qaǵıyda bolmasa da (sonıń ushın da bul máselelerdi standart emes másele deydi) hám standart emes máselelerdi sheshiwdi standart máselelerdi sheshiwge keltiriw boyınsha operatsiyalardı paydalanıwdıń qandayda bir qaǵıydası bolmasada, lekin kópshilik kórnekli matematikler hám pedagoglar qatar ulıwmalıq kórsetpe rekomendatsialar taptı. Standart emes máselelerdi sheshkende olardı basshılıqqa alıw kerek.

Bul kórsetpeler ádette-evristikalıq qosındılar yamasa qısqasha evristikler delinedi (evristika-grek sózi “shınlıqtı tabıw iskusstvosı” degendi bildiredi).

3-mısal.

teńlemeni sheshiń.

Sheshimi:

Bul teńlemeni sheshiw ushın koren astındaǵı ańlatpalardı kóbeytiwshilerge jikleymiz. Onıń ushın hár bir kóren astındaǵı ańlatpanı óz aldına 0-ge teńep olardı 0-ge aynaldıratuǵın sheshimlerin tabamız.

Orınlarına aparıp qoysaq iye bolamız.

Anıqlanıw oblastın tabamız, ol

sistemasınan ibarat. Bunda sheshim hám ekenligin tabamız.

Demek, berilgen teńlemeniń anıqlanıw oblastı.

Teńlemeni mına túrde jazıp alamız

teńlemeniń oń jaǵındaǵı ańlatpanı, onıń sol jaǵına ótkerip hám ulıwma kóbeytiwshini skobka sırtına shıǵarsaq.

sistemasına iye bolamız. Eger bolsa, onda

Bunnan dep alıp onıń eki jaǵın kvadratqa kóteremiz.

iye bolamız.

Bunı sheship hám iye bolamız. Biraq jat sheshim boladı. Sebebi ol anıqlanıw oblastınan tısqarı. Solay etip berilgen teńlemeniń sheshimi x=-1 boladı.

Eger bolsa, onda teńleme mına túrde boladı.

Bunday teńlemeni sheshiwdi bilemiz.