1. Dasturiy ta’minot va uning turlari

Integralning kiymatini taqribiy xisolash formulalarini keltiramiz:


yoki


Bu formula integeralarni taqribiy hisoblashning to’g’ri turtburchaqlar formulasi.
bu formula itegrallarni taqribiy hisoblashning trapetsiya formulasi.
ya‘ni


bu yerda
Bu formula esa aniq integralni taqribiy hisoblashning Simpson formulasi.


Aniq integralni Simpson usulida hisoblaganda taqribiy hisoblash xatoligi boshqa usullarga nisbatan kamrok, yani aniqlik kattarok bo’ladi
312. Oddiy differensial tenglamani taqribiy yechishning Eyler usuli
Differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko’rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p qo’llanadigan Eyler va Runge–Kutta usullarini ko’rib chiqamiz.


Birinchi tartibli differensial tenglamani


y’=f(x,y) (7.4.1)


[a,b] kesmada boshlang’ich shart: x=x0 da u=u0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.


[a,b] kesmani x0, x1, x2, ..., xn nuqtalar bilan “n” ta teng bo’laklarga ajratamiz.


Bu erda xi=x0+ih (i=0,1, ..., n), h= – qadam.
tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo’lgan biror [xk , xk+1] kesmada integrallasak


k
Bu erda y(xk)=yk belgilash kiritsak


uk+1=uk+ (7.4.2)
Bu erda integral ostidagi funktsiyani [xk , xk+1] kesmada o’zgarmas x=xk nuqtada boshlang’ich qiymatga teng desak, Eyler formulasini hosil qilamiz:
uk+1= yk+yk , yk=hf(xk,yk) (7.4.3
313. Oddiy differensial tenglamani taqribiy yechishning Runge-Kutta usuli
Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani xi+1 dagi qiymatini topish uchun uning xi dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.Birinchi tartibli differensial tenglama y’=f(x,y) uchun x=xi da y=yi (i=0,1,2, ...n) qiymatlar ma’lum bo’lsin. Bu erda “ui” boshlang’ich shart ma’nosida bo’lmasligi ham mumkin.


Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], xi=x0+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.


Noma’lum funktsiya “u” ni x=xi+1 dagi qiymati yi+1= y(xi+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo’ladi:


K1(i)=hfi(xi,yi)


K2(i)=hfi(xi +h/2, yi+K1(i)/2)
K3(i)=hfi(xi +h/2, yi+K2(i)/2)
K4(i)=hfi(xi +h, yi+K3(i))
Funktsiyaning orttirmasi yi ni quyidagi formuladan topiladi
yi=(K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) / 6


314. Oddiy differensial tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari
Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi.
Sonli usullar - noma’lum funktsiyaning chekli nuqtalar to’plamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonli jadvallar ko’rinishida ifadalanadi.
Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bo’lgan ko’plab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan o’z kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo’ladi. Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi)


Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribiy usullardan bo’lib amaliy masalalarni yechishda qo’llash mumkin.


Bizga,


y’=f(x,y) (7.1.1)


birinchi tartibli differensial tenglamaning u(x0)=u0 - boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qo’yilsin. Differensial tenglamaning o’ng tomoni f(x,y) funktsiya {|x-x0|a; |y-y0|b} to’rtburchakda uzluksiz va «u» bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin.