1. Dasturiy ta’minot va uning turlari

(7.1.1) dan


dy=f(x,u)dx


ifodani ikkala tomonini «x0» dan «x» gacha integrallasak


(7.1.2)


Bundan, boshlang’ich shartni hisobga olgan holda


(7.1.3)


Noma’lum funktsiya integral ifodasi ostida qatnashganligi uchun hosil bo’lgan (7.1.3) tenglamani integral tenglama deb ataladi.Darajali qatorlar yordamida integrallash


Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama


(7.2.1)


uchun boshlang’ich shartlar berilgan


(7.2.2)


Tenglamaning o’ng tomoni boshlang’ich nuqta M0(x0, u0, u’0, ..., u0(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin. Galerkin usuli


Differensial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda taqribiy- varasion usullardan biri Galerkin usulini qo’llash maqsadga muofiq bo’ladi. Bu usulda tenglamani yechimi tanlab olingan funktsiyalar yig’indisi ko’rinishida bo’ladi. Bu usulni ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalaga qo’llanishini ko’raylik.


Bizga quyidagi chegaraviy masala berilgan bo’lsin: (7.3.1)


(7.3.2)


(7.3.3)


bu erda, p(x), q(x), f(x)–berilgan funktsiyalar; -o’zgarmaslar.
Faraz qilamiz, bu chegaraviy masalani yagona, etarlicha differsiallanuvchi yechimi mavjud. Buning uchun, quyidagi shart bajarilishi kerak:
>0, >0.
Galerkin usuli qo’llash uchun quyidagi shartlarni bajaruvchi funktsiyalar tizimini tanlab olamiz:
1) Bu funktsiyalar uzluksiz va ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega S2.
2) Ixtiyoriy n uchun funktsiyalar da


chiziqli bog’liq emas.
315. Ikkinchi tartibli ODT uchun chegaraviy masalalarni chekli ayirmalar usuli bilan yechish. Progonka usulining turg`unligi
Ikkinchi tartibli chiziqliODT uchun chekli ayirmalar usuli. Progonka usuli va va uning ayirmali tenglamalarni yechish tadbiqi
Demak, bizga quyidagi
ikkinchi tartibli, o’zgaruvchan koeffisentli oddiy differensial tenglamaning oraliqning chetki nuqtalarida qo’yilgan.
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bo’lsin.
Bu yerda p(x), q(x), lar [a, b] oraliqda uzluksiz funksiyalar sinfiga kiradi. - o’zgarmaslar, ya’ni chegaraviy shart belgilari.
Yuqoridagi masalani sonli-taqribiy usul hisoblanmish chekli ayirmalar usuli bilan yechish uchun yechim qidiriladigan [a,b] oraliqda quyidagi to’rni kiritamiz, ya’ni oraliqni koordinatalari formula bilan aniqlanuvchi tugun nuqtalar bilan bo’laklarga bo’lamiz, bu yerda , -tugun nuqtalar soni.
nuqtalar uchun yuqoridagi tenglama o’rinli bo’lgani uchun, uni shu nuqtalarda yozib olamiz:
316. Laplas operatorining ayirmali approksimatsiyasi

317. Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun uch qatlamli sxemalar


318. To`lqin tenglamasi uchun chekli ayirmali sxemalar tuzish.

319. O`zgaruvchan yo`nalishlar sxemasi (bo`ylama-ko`ndalang sxema)



320. Logranj interpolyasion formulasi

331.Funksiyalarni interpolyasiyalash masalasi
Aksariyat hisoblash metodlari masalasi qo’yilishida qatnashgan funksiyalarni unga biror, muayyan ma’noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo’lgan funksiyalarga almashtirish g’oyasiga asoslanadi. Funksiyalarni yaqinlashtirish masalasining eng soda va juda keng qo’llaniladigan qismi funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasi ko’riladi. Dastlab interpolyatsiyalash deganda, funksiyaning qiymatlarini argumentning jadvalda berilmagan qiymatlari uchun topish tushuniladi. Bu holda interpolyatsiyalashni “satrlar orasidagilarni o’qiy bilish san’ati” deb ham ta’riflash mumkin. Hozirgi vaqtda interpolyatsiyalash tushunchasi juda keng ma’noda tushuniladi. Interpolyatsiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik, oraliqda funksiya berilgan yoki hech bo’lmaganda uning qiymatlari ma’lum bo’lsin. Shu oraliqda aniqlangan va hisoblash uchun qulay bo’lgan qandaydir funksiyalar sinfini, masalan, ko’phadlar sinfini olamiz. Berilgan funksiyani oraliqda interpolyatsiyalash masalasi shu funksiyani berilgandagi sinfning shunday funksiyasi bilan taqribiy ravishda almashtirishdan iboratki, berilgan nuqtalarda bilan bir xil qiymatlarni qabul qilsin: Bu yerda ko’rsatilgan nuqtalar interpolyatsiya tugunlari yoki tugunlar deyiladi. esa interpolyatsiyalovchi funksiya deyiladi. Agar sinfi sifatida darajali ko’phadlar sinfi olinsa, u holda interpolyatsiyalash algebraik deyiladi. Algebraik interpolyatsiyalash apparati hisoblash matematikasining ko’p sohalarida qo’llaniladi, chunonchi, differensiyalash va integrallashda, transendant, differensiyalash va integral tenglamalarni yechishda, funksiyaning ekstremumini topish hamda funksiya jadvalini tuzishda Faraz qilaylik, oraliqda funksiya berilgan yoki hech bo’lmaganda uning qiymatlari ma’lum bo’lsin. Shu oraliqda aniqlangan va hisoblash uchun qulay bo’lgan qandaydir funksiyalar sinfini, masalan, ko’phadlar sinfini olamiz. Berilgan funksiyani oraliqda interpolyatsiyalash masalasi shu funksiyani berilgandagi sinfning shunday funksiyasi bilan taqribiy ravishda almashtirishdan iboratki, berilgan nuqtalarda bilan bir xil qiymatlarni qabul qilsin. Bu yerda ko’rsatilgan nuqtalar interpolyatsiya tugunlari yoki tugunlar deyiladi. esa interpolyatsiyalovchi funksiya deyiladi.

332. Xatolar manbai, hisoblash xatosi.

Kerakli yechimni ajratib olish uchun dastlabki ma`lumotlarga konkret qiymatlar berish kerak. Bu dastlabki ma`lumotlar, odatda, tajribadan olinadi (masalan, yorug’lik tezligi, Plank doimiysi, Avogadro soni va x.k.) yoki boshqa biror masalani yechishdan hosil bo`ladi. Har ikkala holda ham biz dastlabki ma`lumotlarning aniq qiymatiga emas, balki uning taqribiy qiymatiga ega bo`lamiz. Shuning uchun agar dastlabki ma`lumotlarning har bir qiymati uchun tenglamani aniq, yechganimizda ham, baribir (dastlabki ma`lumotlardagi qiymatlar taqribiy bo`lganligi uchun) taqribiy natijaga ega bo`lamiz va natijaning aniqligi dastlabki ma`lu­motlarning aniqligiga bog’liq bo`ladi. Aniq, yechim bilan taqribiy yechim orasidagi farq xato deyiladi. Dastlabki ma`lumotlarning noaniqligi natijasida hosil bo`lgan xato yo`qotilmas xato deyiladi. Bu xato masalani yechayotgan matematikga bog’liq bo`lmasdan, unga berilgan ma`lumotlarning aniqligiga bog’liqdir. Lekin matematik dastlabki ma`lumotlar xatosining kattaligini bilishi va shunga qarab natijaning yo`qotilmas xatosini baholashi kerak. Agar dastlabki ma`lumotlar­ning aniqligi katta bo`lmasa, aniqligi juda katta bo`lgan metodni qo`llash o’rinsizdir. Chunki aniqligi katta bo`lgan metod ko`p mehnatni (hisoblashni) talab qiladi, lekin natijaning xatosi bari bir yo`qotilmas xatodan kam bo`lmaydi.
Biz doimo , e, va shunga o`xshash irratsional sonlarning taqribiy qiymatlarini olamiz, bundan tashqari, hisoblash jarayonida oraliq natijalarda ko`p xonali sonlar hosil bo`ladi, bularni yaxlitlab olishga to`g’ri keladi. Ya`ni masalalarni yechishda hisoblashni aniq olib bormaganligimiz natijasida ham xatoga yo`l qo’yamiz, bu xato hisoblash xatosi deyiladi.
333.Absolyut va nisbiy xatoliklar
1-ta’rif. Hisoblashlarda qatnashayotgan taqribiy a son bilan shu sonning aniq qiymati A orasidagi farq (A-a) xatolik deyiladi.
Agar A>a bo‘lsa, xatolik musbat va A<a bo‘lsa, xatolik manfiy bo‘ladi. Xatoliklarni baholash to‘g‘ri bo‘lishi uchun absolyut xatolik tushunchasi kiritiladi.
2-ta’rif. Xatolikning moduliga a taqribiy sonning absolyut xatosi deyiladi,
3 – ta’rif. Taqribiy a son absolyut xatoligining shu son moduliga nisbati a taqribiy sonning nisbiy xatoligi deyiladi, ya’ni. Aniq son noma’lum bo‘lganligi sababli absolyut va nisbiy xatoliklar ham noma’lum bo‘ladi, shuning uchun xatolikning chegarasi ko‘rsatiladi. Tengsizlikni qanoatlantiruvchi h kattalik absolyut xatolikning chegarasi deyiladi.Tengsizlikni qanoatlantiruvchi  soni nisbiy xatolikning chegarasi deyiladi. Nisbiy xatolikning chegarasi ko‘pincha foizlarda ifodalanadi. Taqribiy a sonning absolyut va nisbiy xatoliklari chegaralari ta’riflariga ko‘ra, va kabi yozish mumkin.
Taqribiy sonning absolyut xatoligi deb A va a orasidagi ayirmaning moduliga aytiladi. Absalyut xatolikni  deb belgilasak, u holda quyidagicha bo`ladi:
 | A a|
Amaliyotda ko`p xollarda 0,01 gacha aniqlik bilan, 1 sm gacha aniqlik bilan va x.k. lar uchraydi. Bu esa absolyut xatolikning 0,01; 1 sm va x.k. ga teng ekanligini bildiradi
334.Chiziqlimas tenglamaning ildizlarini ajratish usullari
Tenglama ildizlarini ajratish – bu ildizlarning mavjudligini va sonini aniqlash hamda ularning har biri yotgan yetarlicha kichik [a,b] kesmani topishdan iborat.
Birinchi qadamda ildizlarning soni va turi aniqlanadi, ularning sonlar o‘qida taqsimlanishini baholanadi. Keyin esa ana shu ildizlar yotgan inter- val yoki ularning taqribiy qiymatlari topiladi.
Ildizlarni ajratish uchun ko‘pincha quyidagi teoremalardan foydalaniladi (ularni isbotsiz keltiramiz).

1.