1. Funksiyani aniqlanish sohasini topish; Funksiyaning uzulish nuqtalarini aniqlash

1. Yig‘indining hosilasi.

1-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalarning x_∈(a,b) nuqtada hosilalari mavjud bo‘lsa, u holda f(x)=u(x)+v(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va

f’(x)=u’(x)+v’(x) (4.1)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isboti. 1⁰. f(x)=u(x)+v(x).

2⁰. f(x+∆x)= u(x+∆x)+ v(x+∆x)= u(x)+∆u+ v(x)+∆v.

3⁰. ∆y= f(x+∆x)- f(x)= ∆u+∆v.

4⁰ _{. =}

50. lim ∆y = lim ∆u + ∆v = lim ∆u + lim ∆v = u'( x )+ v'( x ).

∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x

Shunday qilib, (4.1) tenglik o‘rinli ekan. Isbot tugadi.

Misol. (x²+1/x)’=(x²)’+(1/x)’=2x-1/x².

Matematik induksiya metodidan foydalanib, quyidagi natijani isbotlash mumkin:

Natija. Agar u₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x)funksiyalarning x nuqtada hosilalari mavjud bo‘lsa, u holda f(x)= u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:

f’(x)=( u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x))’= u’₁(x)+ u’₂(x+ ...+u’_n(x) .

2. Ko‘paytmaning hosilasi.

2-teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar x_∈(a,b) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda ularning f(x)=u(x)⋅v(x) ko‘paytmasi ham x∈(a,b) nuqtada hosilaga ega va f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) (4.2)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isboti. 1⁰. f(x)=u(x)_⋅v(x).

2⁰f(x+∆x)=u(x+∆x)⋅v(x+∆x)=(u(x)+∆u)⋅(v(x)+∆v)= =u(x)v(x)+∆uv(x)+∆vu(x)+ ∆u∆v.

3⁰. ∆y= f(x+∆x)- f(x)= ∆uv(x)+∆vu(x)+∆u∆v.

4⁰. ^∆y ₌^∆uv( x )+^∆vu( x )+^∆u^∆x ₌ ^∆u v( x )₊^∆v u( x )₊^∆u _∆v .

∆x ∆x ∆x ∆x ∆x

5⁰. Lim ^∆y =( lim ^∆u )_⋅v( x )₊( lim ^∆v )_⋅u( x )₊ lim ^∆u _⋅ lim _∆v=

∆x→0 _∆x ∆x→0 _∆x ∆x→0 _∆x ∆x→0 _∆x ∆x→0

=u’(x)⋅v(x)+u(x)⋅v’(x)++u’(x) v.

Bunda v(x) funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olsak lim _∆v=0 va natijada

∆x→0 (4.2) formulaga ega bo‘lamiz.

1-natija. Quyidagi (Cu(x))’=C_⋅u’(x) formula o‘rinli.

Isboti. Ikkinchi teoremaga ko‘ra (Cu(x))’=C’_⋅u(x)+C_⋅u’(x). Ammo C’=0, demak (Cu(x))’=C_⋅u’(x).

Misollar. 1. (6x²)’=6(x²)’=6_⋅2x=12x.

2. 
   (x⁴)’=((x²)(x²))’=(x²)’(x²)+(x²)(x²)’=2x(x²)+(x²)_⋅2x=4x³.
   
3. 
   (0,25x4-3x2)’=(0,25x⁴)’+(3x²)’=0,25_⋅4x³+3_⋅2x= x³+6x.
   

2-natija. Agar u₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x) funksiyalar x nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda ularning ko‘paytmasi f(x)= u₁(x)⋅u₂(x)⋅ ...⋅u_n(x) ham x nuqtada hosilaga ega va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:

f’(x)= (u₁(x)⋅ u₂(x)⋅ ...⋅u_n(x))’= u’₁(x)⋅ u₂(x)⋅ ...⋅u_n(x)+ u₁(x)⋅ u’₂(x)⋅ ...⋅u_n(x)+...+ u₁(x)⋅ u₂(x)⋅ ...⋅u’_n(x).

FUNKSIYANING O’ZGARMASLIK SHARTI

Teorema. funksiya oraliqda differensialalnuvchi bo’lsin .Shu intervalda funksiya o’zgarmas bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarli.

Isboti.Zarurligi ravshan .Chunki funksiya o’zgarmas bo’lsa ,barcha nuqtada bo’ladi.

Yeterliligi .Shartga ko’ra funksiya intervalda differensialanuvchi,

Ya’ni uchun chekli hosila mavjud va .Endi bo’lgan

nuqtalarni olaylik .Qaralayotgan funksiya kesmada

Lagranj teremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi.Demak , intervalda tegishli shunday s nuqta topilib,

(1)

Tenglik o’rinli bo’ladi .Teorema shartiga ko’ra uchun , bundan va (1) tenglikdan ekanligi kelib chiqadi.

Shunday qilib, funksiyaning intervalning istalgan ikkita nuqtasidagi qiymatlarining o’zaro teng.Demak,funksiya o’zgarmas bo’ladi.

Bundan integral hisobda muhim rol o’ynaydigan quidagi natija kelib chiqadi .

Natija. Agar va funksiyalar da chekli va hosilalarga ega bo’lib ,shu intervalda tenglik o’rinli bo’lsa ,u holda bilan berilgan

funksiyalar bir-biridan o’zgarmas songa farq qiladi :

,C=const.

Haqiqatdan ham,shartga ko’ra .

FUNKSIYANI MANATON BO’LISHI

funksiya intervalda aniqlangan bo’lsin.

2–teorema. funksiya intervalda chekli hosilaga ega
bo’lsin. Bu funksiya shu intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi uchun
intervalda tenglik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Zarurligi. Shartda ko’ra funksiya da chekli hosilaga
ega bo’lib, intervalda o’suvchi (kamayuvchi). nuqtani olib, u
bilan birga nuqtada ham qaraymiz. U holda

munosabatlar o’rinli bo’ladi

Malumki (7.3) va (7.4) munosabatlardan (4–bob, 4–§ ga qarang ) intervalning

barcha nuqtalarida

tenglik o’rinli bo’lishini topamiz.
Yetarliligi. Shartga ko’ra funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lib, shu intervalda
tengsizlik o’rinli.
va nuqtalarni olaylik. Bu holda

segmentda funksiya Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Lagranj teoremasiga muvofiq va nuqtalar orasida shunday nuqta mavjutki, ushbu tenglik o’rinli bo’ladi.
Demak,

bundan funksiya intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi kelib chiqadi. Yuqorida ketma-ketlikning chegaralanganligi uning limitga ega bo‘lishi uchun zaruriy shart bo‘lishini inobatga olsak. Limitga ega bo‘lgan ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi. Lekin teskari mulohaza noto‘g‘ri bo‘lishi mumkin. Har qanday chegaralangan ketma-ketlikning limiti mavjud bo’lavermaydi. Limiti mavjud bo‘ladigan ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishdan tashqari yana qandaydir xususiyatga ega bo‘lishi kerak. Ketma-ketlikning bunday xususiyati uning monotonligidir. Ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘lishining asosiy belgisi uning bir vaqtda cliegaralangan va monoton bolishidir. Chegaralanganlik va monotonlik cheksiz ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Shunday ekan biz berilgan ketma-ketlikning monotonlik xususiyatini va chegaralanganligini ko‘rsata olsak, albatta, bunday ketmaketlik chekli limitga ega bo‘ladi. Keyingi vazifa esa limitni hisoblash usulinitanlab, uni topishdan iboratdir . Har qanday monoton chegaralangan ketma-ketlik limitga ega bo ‘ladi. Bu teoremaning isbotini keltirmaymiz. Veyershtrass teoremasi ketma-ketlik limitining mavjud bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Lekin limitni topish usulini ko‘rsata olmaydi. Ko‘pchilik hollarda ketma-ketlik limitining mavjudligi haqida m a’lum ot berish bu limitni topish uchun yetarli bo‘ladi.

FUNKSIYANI TЕKSHIRISH.
FUNKSIYANING O`SISHI VA KAMAYISHI

Bizga funksiya berilgan bo’lsin

Ta’rif Agar funksiya uchun “x” argumentning eng katta qiymatiga funksiyaning katta qiymati mos kelsa , u holda bu funksiya o’suvchi deyiladi.

Ta’rif . Agar funksiya uchun “x” argumentning eng katta qiymatiga funksiyaning kichik qiymati mos kelsa , u holda bu funksiya kamayuvchi deyiladi.

Biz endi hоsila tushunchasidan fоydalanib, funksiyaning o`sishi va
kamayishini tеkshiramiz.

Teorema Agar kesmada hosilaga ega bo’lgan funksiya shu kesmada o’suvchi bo’lsa , uning hosilasi kesmada manfiy bo’lmaydi ,ya’ni

Agar funksiya kesmada uzluksiz , oraliqda differensiallanuvchi bo’lsa va uchun bo’lsa, bu funksiya da o’suvchi.

Teorema: Agar funksiya kesmada kamaysa ,shu kesmada bo’ladi.

Agar da bo’lsa, kesmada kamayadi.

Misol : funksiyaning o’sish va kamayish oraliqlari topilsin.

Yechish :Funksiya qiymatlarda aniqlangan , hosilasini topamiz.

funksiya o’suvchi , agar yoki .Bundan bo’ladi.

Funksiya kamayuvchi ,agar yoki bo’lsa, bundan bo’ladi.

Bundan bo’ladi.

Demak funksiya intervalda kamayuvchi intervalda o’suvchidir.

Teorema :

FUNKSIYANING MAKSIMUMI VA MINIMUMI.
Ta’rif Agar absalyut miqdori bo’yicha yetarli darajada kichik bo’lgan ixtiyoriy

uchun bo’lsa , funksiya nuqtada maksimumga (max) ega deyiladi.

Ta’rif. Agar absalyut miqdori bo’yicha yetarli darajada kichik bo’lgan ixtiyoriy

uchun bo’lsa , funksiya nuqtada minumumga(min) ega deyiladi.(1-rasm).

Funksiyaning maksimum va minimumlari funksiyaning ekstremumlari deyiladi.

EKSTRЕMUM MAVJUDLIGINING ZARURIY SHARTI

Teorema :Agar differensiallanuvchi funksiya nuqtada maksimumga yoki minimumga ega bo’lsa , u holda bo’ladi.

Misol : funksiyaning maksimum va minimum nuqtalarini toping.

1.

2. ;

Funksiyaning hosilasi x=0 nuqtada nolga teng bo’ladi,lekin bu nuqtada

Funksiya na maksimumga na minimumga ega emas(2-rasm).

Misol: funksiya nuqtada hosilaga ega emas , lekin bu funksiya shu nuqtada minimumga ega.

Misol: funksiyani hosilasini topamiz.

bu funksiya nuqtada hosilaga ega emas, chunki da

Bu nuqtada funksiya maksimumga ham, minimumga ham ega emas.

Hosila nolga aylanadigan argumentning qiymatlari kritik nuqtalari yoki kritik qiymatlari deyiladi.

Funksiya faqat 2 ta holda: hosilaga mavjud va nolga teng bo’lgan nuqtalarda,

Yoki hosila mavjud bo’lmagan nuqtalarda ekstrimumga ega

bo’lishi mumkin (3-rasm)

EKSTRЕMUM MAVJUDLIGINING ЕTARLI SHARTLARI.

Teorema: funksiya kritik nuqtani o’z ichiga olgan birorta intervalda

Uzluksiz va shu intervalning hamma nuqtalarida differensiallanuvchi bo’lsin.

1. Agar nuqtaning chap tomonidan o’ng tomonga o’tishda hosilaning ishorasi

“x” dan “-“ a o’zgarsa, funksiya nuqtada maksimumga ega bo’ladi .

2.Agar chapdan nuqta orqali o’nnga o’tishda hosilaning ishorasi “-“ dan “+” ga o’zgarsa,funksiya shu nuqtada minimumga ega bo’ladi.

DIFFЕRЕNTSIALLANUVCHI FUNKTSIYANI BIRINCHI
HОSILA YORDAMI BILAN MAKSIMUM VA MINIMUMGA
TЕKSHIRISH

Funksiyani birinchi hosila yordami bilan maksimum va minimumga tekshirish quyidagi sxema bo’yicha bajariladi:

1. 
   Funksiyani birinchi hosilasi ni topamiz.
   
2. 
   Argument ning kiritik qiymatlarini topamiz, buning uchun:
   

1. 
   Birinchi hosilani nolga tenglaymiz va tenglamaning tenglamaning haqiqiy ildizlarini topamiz .
   
2. 
   ning hosila uzilishga ega bo’ladigan qiymatlarini topamiz .
   

3. 
   Hosilaning kritik nuqtadan chapdagi va o’ngdagi funksiyaning
   

Qiymatini hisoblaymiz .

Natijada quyidagi sxema hosil bo’ladi:

Misol:

Yechish :Funksiya intervalda aniqlangan.

Uning hosilasini olamiz.

Demak,funksiya kritik nuqtaga ega.

Kritik nuqta atrofida funksiya hosilasining ishorasini tekshiramiz.

Demak, nuqtada maksimumga erishadi.

Funksiya nuqtada maksimumga erishadi.

Funksiya nuqtada maksimumga erishadi.

FUNKSIYALARNI TЕKSHIRISHNING UMUMIY SХЕMASI

Funksiyalarni tekshirishning umumiy sxemasiga quyidgilar kiradi:

Funksiyani aniqlanish sohasini topish ;

Funksiyaning uzulish nuqtalarini aniqlash;

Funksiyaning o’sish va kamayish intervallarini topish;

Maksimum va minimum nuqtalarini,shuningdekfunksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish;

Grafikning qavariqlik va botiqlik sohalarini,burilish nuqtalarini aniqlash;

Funksiyaning grafigining asimptotalarini topish.

O`tkazilgan tеkshirishga asоsan funksiyaning grafigi yasaladi.
Agar tеkshiriladigan funktsiya juft funksiya bo`lsa, ya`ni bo`lsa, u hоlda funksiyaning aniqlanish sоhasida argumеntning faqat musbat qiymatlarida funksiyani tеkshirish va grafigini yasash kifоya. Argumеntning manfiy qiymatlari uchun funksiya grafigini yasashda juft funktsiya grafigi оrdinata o`qiga nisbatan simmеtrik bo`lishidan fоydalaniladi.

Agar toq funksiya ,ya’ni bo`lsa, bu funksiyani argumеntining faqat musbat qiymatlari uchun tеkshirish kifоya. Tоk funksiyaning grafigi kооrdinatalar bоshiga nisbatan simmеtrik bo`ladi.

Misol: funksiya tekshirilsin va grafigi chizilsin.

Yechish:

1)funksiyaning aniqlanish sohasi:

Berilgan funksiya toq funksiyadir,chunki

Funksiya uzluksizdir.

Kritik nuqtalarni aniqlaymiz:

Funksiyaning o’sish va kamayish intervallari:

-funksiya kamayadi,

-funksiya o’sadi

-funksiya kamayadi.

4)Funksiyaning maksimum va minimumlarini topamiz.Buning uchun 2-tartibli hosilani olamiz.

Demak, nuqtada funksiya maksimumga ega.

Egri chiziqning qavariqlik va botiqlik sohalarini va burilish nuqtalarini aniqlaymiz.

U holda:

-egrichiziq qavariq;

egri chiziq botiq

egri chiziq botiq

Demak, nuqtalar burilish nuqtalaridir.

6)Egri chiziqning asimtotalani aniqlaymiz.

a) Egri chiziqning vertical asimtotasi yo’q.

b)Og’ma asimptotasi:

U holda -og’ma asimtotadir.

Shu topilgan qiymatlarga asosan funksiyaning grafigini chizamiz;



FUNKSIYANING EGILISH NUQTALARI

1-ta’rif. funksiyaning grafigi oraliqning istalgan nuqtasidan unga o’tkazilgan urinmadan pastda yotsa, funksiya grafigi shu oraliqda qavariq deyiladi.
2-ta’rif. funktsiyaning grafigi oraliqning istalgan nuqtasidan unga o’tkazilgan urinmadan yuqorida yotsa, funksiya grafigi shu oraliqda botiq deyiladi.
3-ta’rif. Funksiya grafigining qavariq qismini, botiq qismidan ajratuvchi nuqta egilish nuqtasi deyiladi.

Funksiya grafigining qavariq yoki botiq bo’lishining yetarli shartlari:
1) oraliqda differentsiallanuvchi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi manfiy, ya’ni  bo’lsa, bu oraliqda funksiya grafigi qavariq bo’ladi;
2) oraliqda differentsiallanuvchi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi musbat, ya’ni bo’lsa, bu oraliqda funksiya grafigi botiq bo’ladi.
va mavjud bo’lmagan nuqtalarga 2-tur kritik nuqtalar deyiladi.
Egilish nuqtalari mavjud bo’lishining yetarli sharti. nuqta funksiya uchun ikkinchi tur kritik nuqta bo’lsa va ikkinchi tartibli hosila bu nuqtadan o’tishda ishorasni o’zgartirsa, abstsissali nuqta egilish nuqtasi bo’ladi.
Shunday qilib, funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik oraliqlarini, egilish nuqtalarini topish uchun, oldin funksiya aniqlanish sohasini ikkinchi tur kritik nuqtalar bilan oraliqlarga bo’lish va bu oraliqlarda ikkinchi tartibli hosila ishorasini tekshirish kerak. Keyin yetarli shartlardan foydalanib, qavariqlik, botiqlik oraliqlari va egilish nuqtalari aniqlanadi.


Funksiya grafigining asimptotalari.

4-ta’rif. funksiya grafigidagi nuqta shu grafik bo’ylab cheksiz uzoqlashganda, undan biror to’g’ri chiziqqacha masofa nolga intilsa, bu to’g’ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi deyiladi.
bo’lsa, to’g’ri chiziq funksiya grafigining vertikal asimptotasi bo’ladi.

va

Yoki

limitlar mavjud bo’lsa, to’g’ri chiziq funksiya grafigining og’ma asimptotasi bo’ladi. bo’lsa, gorizantal asimptota bo’ladi.

funksiya intervalda differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda funksiya grafigining  nuqtada urinmasi mavjud bo‘ladi.

2-ta’rif. Agar intervalning istalgan nuqtasida funksiya grafigi unga o‘tkazilgan urinmadan yuqorida (pastda) yotsa, funksiya grafigi botiq (qavariq) deyiladi.

Funksiya grafigining botiq qismini qavariq qismidan ajratuvchi nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi deb ataladi (14-shakl).

5-teorema.Agar funksiya intervalda ikkinchi tartibli hosilaga ega va da bo‘lsa, u holda funksiya grafigi intervalda qavariq (botiq) bo‘ladi.

Isboti. da bo‘lsin. Funksiya grafigida abssissali ixtiyoriy nuqta olamiz (15-shakl). Funksiyaning grafigi bu urinmadan pastda yotishini ko‘rsatamiz.Buning uchun nuqtada egri chiziqning ordinatasi bilan urinmaning ordinatasini solishtiramiz.

U rinma tenglamasini tuzamiz:

yoki .

U holda

Lagranj teoremasiga ko‘ra bu yerda bilan ning orasida yotadi. Shu sababli

yoki .

ayirmaga Lagranj teoremasini takror qo‘llaymiz:

bu yerda bilan ning orasida yotadi.

Demak,

Bu tengsizlikni tekshiramiz:

1) Agar bo’lsa, u holda  , bo’ladi va yoki

2) Agar bo‘lsa, u holda , bo‘ladi va Bundan yoki

Demak, da urinmaning ordinatasi funksiya grafigining ordinatasidan katta bo‘ladi va ntervalda funksiya grafigi qavariq. da funksiya grafigi botiq bo‘lishi shu kabi isbotlanadi.

Funksiya grafigining egilish nuqtasini topish quyidagi teoremalarga asoslanadi.

6-teorema (egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti). Agar funksiya intervalda uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega va nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lsa, u holda bo‘ladi.

Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni , aniqlik uchun , bo‘lsin. Teoremaning shartiga ko‘ra ikkinchi tartibli hosila uzluksiz. U holda hosila nuqtaning biror atrofida musbat bo‘ladi va funksiya grafigi bu atrofda botiq bo‘ladi. Bu nuqta egilish nuqtaning abssissasi bo‘ladi mulohazasiga zid. Demak, qilingan faraz noto‘g‘ri va  

bo‘ladigan nuqtalarning barchasi ham funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lmaydi. Masalan, funksiya grafigining nuqtasi egilish nuqta emas, ammo da .

Demak, shart egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti bo‘ladi.

7-teorema. (egilish nuqta mavjud bo‘lishining yetarlilik sharti) funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin. Agar atrofning nuqtadan chap va o‘ng tomonlarida hosila har xil ishoraga ega bo‘lsa, u holda nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi.

Isboti. da , da bo‘lsin.

U holda 5-teoremaga ko‘ra nuqtadan chapda funksiya grafigi botiq va o‘ngda qavariq bo‘ladi. Demak, nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi.

da va da bo‘lgan hol uchun teorema shu kabi isbotlanadi.

Bu teorema funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lib, nuqtada mavjud bo‘lmasa ham o‘rinli bo‘ladi. Shu sababli egilish nuqtalarni ikkinchi tartibli hosila nolga teng bo‘lgan

yoki uzilishga ega bo‘lgan nuqtalar, ya’ni ikkinchi tur kritik nuqtalar orasidan

izlash kerak.

Misol.

funksiya grafigini botiq va qavariqlikka tekshiramiz.



    

I kkinchi tartibli hosila  nuqtalarda nolga teng va mavjud emas.

hosilaning bu nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini tekshiramiz.

Demak, funksiyaningg rafigi va intervallarda qavariq, va intervallarda botiq bo‘ladi. nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. 
   О‘zbekiston Respublikasi Prezidenti asarlari:
   

1. 
   Mirziyoyev Sh.M. Buyuk kelajagimizni mard va oliyjanob xalqimiz bilan birga quramiz T.: O’zbekiston 2017 yil
   
2. 
   Karimov I.A. O`zbekiston XXI asrga intilmoqda. T., O`zbekiston, 2000 yil
   
3. 
   Mirziyoyev Sh.M. Tanqidiy tahlil qatiy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik-har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo`lishi kerak T.: O’zbekiston 2017 yil
   

1. Ilmiy-uslubiy adabiyotlar:

1. 
   Safarova R O`zbekiston Respublikasida umumiy o`rta ta`lim strategiyasi muommolari va ta`lim mazmunining yangi modellari, ularni tadbiq etish yo`llari. T.: . Fan. 2005yil
   
2. 
   Farberman B.L. Oliy ta`limda o`qitishning zamonaviy usullari T.: 2002-yil
   
3. 
   Jumayev M.E. Boshlang`ich sinflarda matematika o`qitish metodikasi. T.: 2005yil
   
4. 
   Roziqov O. Didaktika T.: Fan. 1997yil
   
5. 
   Abduqodirov A.A., Astanova F.A., Abduqodirov F.A. Nazariya, amaliyot va tajriba T.: Tafakkur qanoti 2012 yil
   
6. 
   Jumayev E.E. Boshlang’ich matematika nazariyasi va metodikasi T.: Turon - Iqbol 2012 yil
   
7. 
   Ahmedov M., Abdurahmonova N., Jumayev M. Matematika 1-sinf Turon–iqbol T., 2016 yil
   
8. 
   Abdurahmonova N. O`rinboyeva L. Matematika 2-sinf II-nashr Yangiyo`l Poligraf servis T., 2016 yil
   
9. 
   Burxonov S., Xudoyorov O`., Norqulova Q. Matematika 3-sinf Sharq nashriyot Matbaa Aksiyadorlik kompaniyasi T., 2016 yil
   
10. 
    Bikbayeva N.U., Yangiboyeva E. Matematika 4-sinf O`qituvchi, 2015 yil
    
11. 
    Mardanova F. I. Matematikadan test topshiriqlari 3-sinf. O`qituvchi, T.: 2016 yil
    
12. 
    Bozorova.M.Q, Norpo‘latova. X.A, Olimov.Q.T Ta’limni faollfshtiruvchi metodlar. O‘quv qo‘llanma. Termiz, 2011yil
    
13. 
    Burxonov S., Xudoyorov O`., Norqulova Q. Matematika 3-sinf Sharq nashriyot Matbaa Aksiyadorlik kompaniyasi T., 2014 yil.
    
14. 
    Bikbayeva N. U. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasi T.: O’qituvchi, 1996 yil
    
15. 
    Jumayev M. E., Tadjieva Z. G’. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasi T.: 2005 yil
    
16. 
    Jumayev M.E., Tadjiyeva Z.G’. Boshlang’ich sinflarda matematikadan fakultativ darslarni tashkil etish metodikasi T.: TDPU 2005 yil
    
17. 
    Jumayev M.E. Bolalarda matematik tushunchalarni rivojlantirish nazariyasi va metodikasi (KHK uchun) T.: Ilm-Ziyo 2005 yil
    
18. 
    Toshmurodov B. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitishni takomillashtirish T.: O’qituvchi, 2000 yil
    
19. 
    Jumayev M. E. Matematika o’qitish metodikasidan praktikum T.: O’qituvchi 2004 yil
    
20. 
    Yo’ldoshev J. G’. Usmonov S. A. Pedagogik texnologiya asoslari T.: O’qituvchi, 2004 yil
    
21. 
    Jo’rayev R. Zunnunov A. Ta’lim jarayonida o’quv fanlarini integratsiyalash T.: Sharq, 2005 yil
    

19. Suvonqulov A. K. Hamzayev H. X. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasidan amaliy mashg’ulotlar Jizzax, 2006 yil

22. 
    Suvonqulov A. K. Hamzayev H. X. Boshlang’ich sinflarda matematika darslarida didaktik o’yinlar Jizzax, 2007 yil
    
23. 
    Ibragimov X. I. va boshqalar Pedagogik- psixologiya T.: O’zbekiston faylasuflar milliy jamiyati nashriyoti, 2009 yil
    
24. 
    Yo’ldoshev J. Yo’ldosheva F. Yo’ldosheva G. Interfaol ta’lim sifat kafolati T.: 2008 yil
    

III Internet materiallari:

1. ^{http://www.ziyonet.uz/}