1. Kópliktiń limit noqatı. 

7-lekciya


Funkciyanıń limiti. Funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Geyne hám Koshi anıqlamaları. Limitke iye bolǵan funkciyalardıń ápiwayı qásiyetleri. Bir tárepleme limitler. Bir tárepleme limitler tiykarında funkciyanıń shekli limitke iye bolıw shárti.


1.Kópliktiń limit noqatı.  a   , a    interval a  noqattıń  dógeregi


dep atalatuǵın hám U _  a  simvolı menen belgilenetuǵını málim:


U _  a  :  a   , a    .


Sonıń menen birge  a   , a    \ a kóplik a  noqattıń oyılǵan  -

0 0
dógeregi dep ataladı hám U   a  simvolı menen belgilenedi: U   a   U _  a  \ a .

U      x  :
x

 M , U       x  : x  M ,

U       x  : x  M 


kóplikler (bul jerde M  0 ), sáykes túrde, ,  ,   , «noqat»larınıń dógeregi dep ataladı.


1-anıqlama. a  noqattıń qálegen  dógereginde  x kópliktiń a


noqattan ózgeshe keminde bir noqatı bar bolsa, onda a noqat  x kópliktiń limiti noqatı dep ataladı.


Kópliktiń limit noqatı usı kóplikke derek bolıwı da, bolmawı da múmkin. Qásiyetleri. 1) Kópliktiń limit noqatınıń qálegen dógereginde bul kópliktiń

sheksiz kóp noqatı bar.

Kerisinen dálilleymiz. Meyli, a

noqattıń bazı bir U   a  dógeregine

 x

kópliktiń shekli sandaǵı a1 , a2 ,..., an

noqatları derek

bolsın. Onda,

eger

a  a1

,

a  a2

,...,

a  an

hám  sanlardıń eń kishisin 

dep alsaq, a noqattıń

 x_n 
U _  a  dógereginde  x kópliktiń a noqattan ózgeshe hesh bir noqatı bolmaydı.

Bul a noqattıń  x kópliktiń limit noqatı ekenligine qarama-qarsı.

2. 
   Kópliktiń noqatlarınan bul kópliktiń limit noqatına jıynaqlı izbe-izlik dúziw
   

múmkin.


Nólge jıynaqlı  _n  oń sanlar izbe-izligin alıp, a noqattıń U _n  a  dógereklerin dúzemiz. a noqat  x kópliktiń limit noqatı bolǵanlıqtan bul dógereklerdiń hár birewinde  x kópliktiń a noqattan ózgeshe  x_n  noqatı bar:

xn  U 				 a 	 xn  a . Kópliktiń limit noqatınıń 1-qásiyetinen bul xn	noqattı
				n
x1 , x2 ,..., xn1					noqatlardan ózgeshe qılıp alıw múmkin. Solay etip,  n 	ushın
	xn  a		 n		boladı.  n  izbe-izligi sheksiz kishi izbe-izlik bolǵanlıqtan    0 san

ushın N  N    nomer tabılıp, n  N nomerler ushın  _n   teńsizlik orınlı boladı. Demek,    0 san ushın N  N    nomer tabılıp, n  N nomerler ushın


xn  a   teńsizlik orınlı, al bul lim xn  a bolatuǵının bildiredi.


n


Tastıyıqlawdıń dálillewinen kópliktiń elementlerinen usı kópliktiń limit noqatına jıynaqlı bolǵan júdá kóp izbe-izlik dúziw múmkinligi kórinip tur.

2. 
   Funkciyanıń noqattaǵı limitiniń anıqlamaları. Meyli y  f  x  funkciya
   

• 
  x kóplikte anıqlanǵan funkciya, al a noqat  x kópliktiń limit noqatı bolsın.
  

2-anıqlama. (Funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Geyne anıqlaması). Eger

argument a noqattan ózgeshe mánislerinen dúzilgen, a noqatqa jıynaqlıl  x_n 

izbe-izlik sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen  f izbe-izlik b

sanına jıynaqlı bolsa, onda y  f  x  funkciyanıń a noqattaǵı ( x  a daǵı) limiti b sanına teń deymiz hám lim f  x   b (yaki x  a da f  x   b ) dep jazamız.


x a


Mısallar. 1) f  x   c ( c -turaqlı san) funkciya sanlar kósheriniń qálegen noqatında limitke iye hám bul limit c sanına teń.

2. 
   f  x   x funkciya sanlar kósheriniń a noqatında limitke iye hám bul limit a sanına teń.
   

3)

f  x  

x^2 16

funkciyanıń

x  4

noqattaǵı

limitin

tabamız.

x ^2  4x

lim xn  4

 n  N xn  4

bolǵan

 xn  izbe-izlik

alamız. Bul

izbe-izlikke

n

sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen izbe-izlik

f  xn

x ^2  16



x  4

 ^ x2  4 x

x

n

n

n

n

n

kóriniste bolıp, limiti 2 ge teń. Demek, lim

x^2 16

 2 .

x4 x ^2  4x