1. Kópliktiń limit noqatı. 

tómendegi teoremadan kelip shıǵadı.

4-teorema. lim f  x   b

bolıwı ushın

f  x 

funkciya a noqatta bir tárepli

x a

lim f  x  hám lim f  x  limitlerge iye bolıp

x  a 0

x  a 0

lim

f



x



 lim

f



x



 b

x  a  0

x  a 0

teńlikler orınlı bolıwı zárúr hám jeterli.

Bul teorema keltirilgen anıqlamalardan tikkeley kelip shıǵadı.

Funkciyanıń x  daǵı limiti túsinigin kiritemiz. Bunıń ushın y  f  x  funkciyanıń anıqlanıw oblastı bolǵan  x  R kópliktiń    0 ushın   ,   kesindiniń sırtında keminde bir elementi bar bolıwın talap etemiz.


6-anıqlama. (Funkciyanıń x  daǵı limitiniń Geyne anıqlaması). Argumenttiń mánisleriniń qálegen sheksiz úlken  x_n  izbe-izligi ushın funkciyanıń



n



sáykes dara mánisleriniń

f  x



izbe-izligi b sanına jıynaqlı bolsa, onda b sanı

f  x  funkciyanıń x  daǵı limiti dep ataladı hám lim f  x   b dep jazıladı.

x

7-anıqlama. (Funkciyanıń

x  daǵı limitiniń Koshi anıqlaması). Eger

   0 san ushın      

sanı tabılıp,

x

  shártin qanaatlandırıwshı

x  x noqatta

f  x   b

 

teńsizligi orınlı bolsa, onda y  f  x  funkciyanıń

x  daǵı limiti b sanına teń deymiz.

Funkciyanıń argumenti málim belgidegi sheksizlikke umtılǵandaǵı limiti túsinigin kiritemiz. Bunıń ushın y  f  x  funkciyanıń anıqlanıw oblastı bolǵan

 x  R kópliktiń    0 ushın  noqattıń oń tárepinde (  noqattıń shep

tárepinde) keminde bir elementi bar bolıwın talap etemiz.


8-anıqlama. (Funkciyanıń x     x    degi limitiniń Geyne


anıqlaması). Argumenttiń oń (teris) mánisleriniń qálegen sheksiz úlken  x_n  izbe-

izligi ushın funkciyanıń dara mánisleriniń



f  x



izbe-izligi b sanına jıynaqlı

n



bolsa, onda b sanı

f  x  funkciyanıń

x     x   

degi limiti dep ataladı

hám

lim f



x



 b

lim f



x



 b



x 

^x 

dep jazıladı.

9-anıqlama.

(Funkciyanıń

x     x   

daǵı limitiniń

Koshi

anıqlaması). Eger    0 san ushın      

sanı tabılıp, x    x   

shártin

qanaatlandırıwshı

x  x noqatta

f  x   b

 

teńsizligi orınlı bolsa, onda

y  f  x  funkciyanıń x     x   

degi limiti b sanına teń deymiz.

Eskertiw.  x_n  sanlı izbe-izliktiń limiti túsinigin funkciyanıń x    degi limitiniń dara jaǵdayı sıpatında qaraw múmkin. Haqıyqattan da, eger  x  R kóplik

sıpatında natural sanlar kópligin, al bul kóplikte anıqlanǵan f  x  funkciya sıpatında hár bir n natural sanǵa  x_n  izbe-izliktiń n -elementin sáykes qoyıwshı funkciyanı alsaq, onda bul funkciyanıń x    daǵı limitiniń 9-anıqlaması sanlı izbe-izliktiń limitiniń anıqlamasın beredi.