1. Kópliktiń limit noqatı. 

3-anıqlama. (Funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Koshi anıqlaması). Eger

 0

san

ushın        0

sanı

tabılıp,

0 

x  a

 

shártin

qanaatlandırıwshı x  x

noqatta

f  x   b

 

teńsizligi

orınllı

bolsa, onda

y  f  x  funkciyanıń a noqattaǵı ( x  a daǵı) limiti b sanına teń deymiz.

Mısal.

f  x  

x^2 1

funkciyanıń

x  1

noqattaǵı limiti 2 ge

teń

ekenin

x 1

kórsetemiz.    0 san ushın    dep alsaq,

10. 
     1
    

   x  1 shártin

qanaatlandırıwshı x  x noqatta


x² 1

10. 
    1
    



10. 
    1 2
    



10. 
     1
    

    teńsizlik

orınlı boladı. Demek, lim ^{x2 1}  2 .


x^1 x 1


1-eskertiw. Geyne anıqlamasındaǵı  x_n  izbe-izliktiń elementleriniń a noqattan ózgeshe bolıwı hám Koshi anıqlamasındaǵı argumenttiń mánisleri 0  x  a   shártin qanaatlandırıwı, yaǵnıy a noqattan ózgeshe bolıwı, shártleri úlken áhmiyetke iye. Bul talaptıń qoyılıwı sebebi y  f  x  funkciya a noqatta anıqlanbaǵan bolıwı da múmkin.

2-eskertiw. Geyne anıqlamasınıń shártlerin qanaatlandırıwshı  x_n  izbe-izliklerge sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen  f  x_n  izbe-izliklerdiń bari bir sanǵa b sanına jıynaqlı bolıwı kerek. Eger bunday bolmasa (yaǵnıy  f  x_n 

izbe-izlik hár qıylı sanlarǵa jıynaqlı bolsa), onda funkciya a noqatta limitke iye emes. Mısallar keltiremiz.

№1. D  x  - Dirixle funkciyası sanlar kósheriniń hesh bir noqatında limitke iye emes. Haqıyqatında da, a  R noqatına jıynaqlı racional sanlar izbe-izligi ushın funkciyanıń sáykes dara mánisleriniń izbe-izliginiń limiti 1 ge, al a noqatına jıynaqlı irracional sanlar izbe-izligi ushın funkciyanıń sáykes dara mánisleriniń izbe-izliginiń limiti 0 ge teń.

№2. f  x   sin ¹ funkciyanıń anıqlanıw oblastı D  f   R \ 0 bolıp, x  0

x


noqat funkciyanıń D  f  anıqlanıw oblastınıń limit noqatı.

x  0 noqatqa jıynaqlı			1	 n 1, 2,... sanlar izbe-izligin alamız. Bul
	^xn		n

izbe-izlik elementlerine sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen izbe-izlik elementleri f  x_n   sin  n   0 bolıp, buń izbe-izliktiń limiti nólge teń.

x  0 noqatqa jıynaqlı				1		 n 1, 2,... sanlar izbe-izligin alamız.
	xn			2 	2n

Bul izbe-izlik elementlerine sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen izbe-izlik elementleri f  x_n  sin   2  2 n   1 bolıp, bul izbe-izliktiń limiti 1 ge teń.

Demek, berilgen funkciya x  0 noqatta limitke iye emes.

3-eskertiw. y  f  x  funkciya anıqlanǵan  x kóplik a noqattıń bazı bir  dógeregin tolıq qaplawı shárt emes. Bul kópliktiń a noqattıń qálegen oyılǵan  dógereginde keminde bir noqatı bar bolıwı ǵana talap etiledi.

4-eskertiw. Koshi anıqlamasındaǵı 0 


x  a

  shárti

					0
a    x  a   , x  a qatnaslarǵa, yaǵnıy					x U   a 	shártine ekvivalent, sonday-
aq,		f  x   b		  teńsizligi b    f	 x   b  	teńsizliklerine, yaǵnıy

6. 
    x  U _  b  shártine ekvivalent.
   

5-eskertiw. f  x  funkciyanı aldınnan berilgen   0 anıqlıqta juwıqlastırıw ideyasınan paydalanıp, funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Koshi anıqlamasın tómendegishe basqasha aytıwımız da múmkin.


Eger aldınnan berilgen qálegen   0 anıqlıq ushın a noqattıń sonday oyılǵan

• 
  -dógeregin kórsetiw múmkin bolıp, argumenttiń a noqattıń usı kórsetilgen
  

oyılǵan dógeregine derek mánisleri ushın b sanı				f  x  funkciyanı   0 anıqlıqta
juwıqlastırsa, onda b sanı f  x  funkciyanıń a				noqattaǵı limiti dep ataladı (1-
súwret).
		6-eskertiw. f  x  funkciya a noqatta jalǵız bir limitke iye boladı.
Haqıyqatında da, funkciyanıń noqattaǵı limitiniń					Geyne anıqlaması ushın bul
	f  x		izbe-izliginiń limitiniń birden-birliginen,		al Koshi anıqlaması ushın
	n	

tómendegi ekvivalentlik teoremasınan kelip shıǵadı.


1-teorema. Funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Geyne hám Koshi anıqlamaları óz-ara ekvivalent.

 x_n 


Dálillew. 1) Dáslep, meyli, anıqlaması boyınsha limiti


b
sanı f  x 


bolsın.


funkciyanıń


Usı b


a


noqattaǵı Koshi


sanı f  x 

1-súrwet

funkciyanıń a noqattaǵı Geyne anıqlaması boyınsha da limiti bolatuǵının dálilleymiz. Meyli,  x_n -elementleri a noqattan ózgeshe, a noqatqa jıynaqlı qálegen izbe-izlik bolsın, usı izbe-izlikke sáykes funkciyanıń dara mánislerinen


dúzilgen  f izbe-izliktiń b noqatqa jıynaqlı ekenin dálillew talap qılınadı.

   0 sanın hám bul san boyınsha        0 sanın 0  x  a   shártin qanaatlandırıwshı x  x noqatta f  x   b   teńsizligi orınlı bolatuǵınday qılıp saylap alamız.

• 
  x_n  izbe-izlik a noqatqa jıynaqlı bolǵanlıqtan saylap alınǵan   0 sanı
  

ushın

N nomer tabılıp, n  N nomerler ushın

xn  a

 

teńsizlik orınlı boladı.

n nomer ushın xn

 a bolǵanlıqtan n  N nomerler ushın 0 

xn  a

  teńsizlik

orınlı

hám Koshi

anıqlaması boyınsha n  N

nomerler

ushın

f  xn   b

 