1-mavzu 1-ma’ruza

Sonning absolut qiymati
4-ta’rif. sonining absolut qiymati (yoki moduli) deb bo‘lganida sonining o‘ziga, manfiy bo‘lganida soniga aytiladi.
sonining absolut qiymati belgi bilan belgilanadi. Demak, ta’rifga ko‘ra

Sonning absolut qiymati quyidagi xossalarga ega:
da
da tengsizlik tengsizlikka ekvivalent bo‘ladi;
da

Bu xossalarning isboti bevosita sonning absolut qiymati ta’rifidan kelib chiqadi. Ulardan birini, masalan, bo‘lishini isbotlaymiz.
Isboti. bo‘lsin. U holda bo‘ladi.
Bundan

bo‘lsin. U holda
, bo‘ladi.
Bundan
.
Sonli to‘plamning aniq chegaralari
5-ta’rif. Agar shunday soni topilsaki istalgan uchun tengsizlik bajarilsa, haqiqiy sonlar to‘plami yuqoridan chegaralangan deyiladi.
Masalan, to‘plam yuqoridan chegaralangan.
6-ta’rif. Agar shunday soni topilsaki istalgan uchun tengsizlik bajarilsa, haqiqiy sonlar to‘plami quyidan chegaralangan deyiladi.
Masalan, barcha natural sonlar to‘plami quyidan chegaralangan.
7-ta’rif. Agar to‘plam ham quyidan ham yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, y’ani shunday va sonlari topilsaki istalgan uchun tengsizlik bajarilsa, haqiqiy sonlar toplamiga chegaralangan deyiladi.
Bu ta’rifdan agar to‘plamning elementlari biror kesmada joylashsa, u holda bu to‘plam chegaralangan bo‘ladi degan xulosa kelib chiqadi.
Yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan to‘plamga yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan deyiladi. Masalan, barcha natural sonlar to‘plami yuqoridan chegaralanmagan (ammo quyidan chegaralangan) bo‘lsa, barcha manfiy sonlar to‘plami quyidan chegaralanmagan (ammo yuqoridan chegaralangan). Barcha butun sonlar to‘plami, barcha ratsional sonlar to‘plami, shuningdek, barcha haqiqiy sonlar to‘plami yam quyidan va ham yuqoridan chegaralanmagan.
Agar to‘plam yuqoridan soni bilan chegaralangan bo‘lsa, bu songa
to‘plamning yuqori chegarasi deyiladi. Bunda sonidan katta bo‘lgan
ixtiyoriy son ham to‘plamning yuqori chegarasi bo‘ladi.