1-mavzu 1-ma’ruza

8-ta’rif. Agar istalgan uchun bo‘lsa va yetarlicha kichik ixtiyoriy musbat son uchun shunday soni topilsaki tengsizlik bajarilsa, soniga to‘plamning aniq yuqori chegarasi deyiladi.
Boshqacha aytganda, to‘plamning aniq yuqori chegarasi ning barcga yuqori chegaralarining eng kichigi bo‘ladi.
to‘plamning aniq yuqori chegarasi (yoki ) bilan belgilanadi (lotin tilida supremum-eng yuqori so‘zidan olingan).
Yuqoridan chegaralanmagan to‘plam uchun ta’rif asosida deb olinadi.
Agar to‘plam quyidan soni bilan chegaralangan bo‘lsa, bu songa to‘plamning quyii chegarasi deyiladi. Bunda sonidan kichik bo‘lgan ixtiyoriy son ham to‘plamning quyi chegarasi bo‘ladi.
9-ta’rif. Agar istalgan uchun bo‘lsa va yetarlicha kichik ixtiyoriy musbat son uchun shunday soni topilsaki tengsizlik bajarilsa, soniga to‘plamning aniq quyi chegarasi deyiladi.
Shunday qilib, to‘plamning aniq quyi chegarasi ning barcga quyi chegaralarining eng kattasi bo‘ladi.
to‘plamning aniq quyi chegarasi (yoki ) bilan belgilanadi (lotin tilida infimum-eng quyi so‘zidan olingan).
Quyidan chegaralanmagan to‘plam uchun ta’rif asosida deb olinadi.
Masalan, to‘plam uchun
to‘plamning aniq chegaralari uchun quyidagiu tasdiq o‘rinli bo‘ladi.
1-teorema. Har qanday yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo‘sh bo‘lmagan haqiqiy sonlar to‘plami aniq yuqori (aniq quyi) chegaraga ega bo‘ladi.


3.1.3. Matematik mantiq elementlari
Mantiqiy belgilar
Ta’riflarning, teoremalrning ifodalanishida va bosqa matemtik tasdiqlarda ko‘pincha ayrim so‘zlar va butun ifodalar takrorlanib keladi. Bunday hollarda ularning yozilishida mantiqiy belgilarni qo‘llash foydali bo‘ladi.
Mаtеmаtiк mаntiqdа mulоhаzа dеb rоst yoкi yolg‘оnligi bir qiymаtli аniqlаnаdigаn dаrак gаplаrga aytiladi. Mаsаlаn, «er quyosh аtrоfidа аylаnаdi», «6 oddiy son» gaplari mulohaza bo‘lsa, «kеch кirmоqdа», «mаtеmаtiка qiyin fаn» gaplari mulohaza bo‘lmaydi.
mulоhаzаning inкоri « еmаs» yoкi « bo‘lishi to‘g‘ri еmаs» dеb o‘qilаdi.
vа mulоhаzаlаrning коnyunкstiyasi « vа » dеb o‘qilаdi.
vа mulоhаzаlаrning dizyunksiyasi « yoki » dеb o‘qilаdi.
vа mulоhаzаlаrning implikatsiyasi «agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi» (yoki « dan kelib chiqadi») mulohazasini bildiradi.
vа mulоhаzаlаrning ekvivalensiyasi « va ekvivalent» (yoki « dan kelib chiqadi va dan kelib chiqadi») mulohazasini bildiradi.
Mavjudlik kvantori «mavjudki», «topiladiki» so‘zlarini bildiradi.
Umumiylik kvantori «har qanday», «ixtiyoriy», «barcha» so‘zlarini ifodalaydi.
«o‘rinli bo‘ladi», «bajariladi» so‘zlarini anglatadi.
«moslik» ni bildiradi.
Mantiqiy belgilar yordamida yozilgan tasdiqlarni tushunish va o‘qishni osonlashtirish uchun belgilarning har biriga tegishli bo‘lganlari alohida qavslarga olinadi. Masalan, yozuv « ixtiyoriy son uchun shunday son topiladiki, ning ga teng bo‘lmagan va tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
tengsizlik bagariladi» deb o‘qiladi.