1-mavzu 1-ma’ruza

3.1.4. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar
9-ta’rif. Ghekli limitga ega bolgan ketma-ketlikka yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Yaqinlashuvchi bo‘lmagan ketma-ketlikka uzoqlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
ketma-ketlik yaqinlashuvchi va limitga ega bo‘lsin. U holda cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi, chunki son uchun shunday nomer topiladiki, uchun bo‘ladi. Shu sababli yaqinlashuvchi va limitga ega bo‘lgan ixtiyoriy ketma-ketlikning umumiy hadini ko‘rinishda yozish mumkin bo‘ladi va aksincha, ketma-ketlikning istalgan hadini ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda bo‘ladi, bu yerda cheksiz kichik ketma-ketlik.
Shunday qilib, cheksiz kichik ketma-ketlikning limiti nolga teng bo‘ladi. Cheksiz katta ketma-ketlik limitga ega bo‘lmaydi. Uning limiti deb belgilanadi.
Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega.
1-xossa. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega bo‘ladi.
2-xossa. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi.
3-xossa. Agar va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi va bo‘ladi.
4-xossa. Agar va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi va bo‘ladi.
5-xossa. Agar va yaqinlashuvchi ketma-ketliklar va bo‘lsa, u holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi va bo‘ladi.
6-xossa. Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ( ) bo‘ladi.
7-xossa. Agar va yaqinlashuvchi ketma-ketliklar va uchun bo‘lsa, u holda ( ) bo‘ladi.
8-xossa. Agar va yaqinlashuvchi ketma-ketliklar, va uchun bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Xossalardan birini isbotini keltirish bilan chegaralanamiz.
3-xossaning isboti. bo‘lsin. U holda va bo‘ladi, bu yerda – cheksiz kichik ketma-ketliklar. Bundan kelib chiqadi.
Cheksiz kichik ketma-ketlikning 1-xossasiga asosan cheksiz kichik ketma-ketlik. Shu sababli ketma-ketlik limitga ega bo‘ladi, ya’ni
.
Misol
ketma-ketlikning yaqinlashuvchi ekanini ko‘rsatamiz.
Birinchidan da.
Ikkinchidan da.
belgilash kiritamiz. Bunda va uchun bo‘ladi.
U holda xossaga ko‘ra ya’ni berilgan ketma-ketlik
yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Har qanday ketma-ketlik ham limitga ega bo‘lmaydi. Ketma-ketlik limiti mavjud bo‘lishi haqidagi teorema bilan tanishamiz.