1-mavzu: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning kanonik formalari va tavsifi. Xarakteristik tenglamasi. Koshi masalasining qo‘yilishi. Bir o’lchovli to’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi. Dalamber formulasi

1.
0

DC
; 
2. 
 
DX
C
CX
D
2

; 
3.


DY
DX
Y
X
D



. 
Agar 
 
X
Y


barcha 
OX
sonlar o’qida qiymatlar qabul qiluvchi 
X
tasodifiy 
argumentning funksiyasi bo’lsa, u holda
 


 
 



  
   
 




2
2
2
X
M
dx
x
f
x
dx
x
f
X
M
x
X
D

















X
uzluksiz tasodifiy miqdorning o’rtacha kvadratik chetlanishi
 
deb dispersiyadan 
olingan kvadratik ildizga aytiladi.
 
DX
X


. 
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning modasi deb, zichlik funksiyasi maksimum qiymati 
erishadigan argumentning qiymatiga aytiladi.
 
Barcha 
OX
sonlar o’qida qiymatlar qabul qiluvchi 
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning 
k
-
tartibli boshlang’ich momenti
 
quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: 
 





dx
x
f
x
v
k
k
. 
Barcha 
OX
sonlar o’qida qiymatlar qabul qiluvchi 
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning 
k
- tartibli markaziy momenti
 
quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: 

  






dx
x
f
MX
x
k
k

. 
ta’rifga ko’ra 
1

k
da 
,
1
MX
v

0
1


va 
2

k
da
2
1
2
2
v
v
DX




3
1
1
1
3
3
2
3
v
v
v
v




; 
Namunaviy misollar yechish 
1-Misol.
X
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagi ko’rinishda bo’lsa: 
 










2
,
0
2
0
,
2
/
0
,
0
x
x
x
x
x
f
, 

---

?

MX
?

DX
?
)
(

X

Yechish.








2
0
2
3
/
4
5
,
0
)
(
dx
x
dx
x
xf
MX
;










2
0
2
2
9
/
2
)
3
/
4
(
5
,
0
)
(
)
3
/
4
(
xdx
x
dx
x
f
x
DX
;
 
47
,
0
)
(


DX
X

. 
2-Misol. 
X
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi:
 










4
,
0
4
0
,
4
/
0
,
0
x
x
x
x
x
F
X
tasodifiy miqdorning 3-tartibli boshlang’ich va markaziy momentlarini toping. 
Yechish. 
 












4
,
0
4
0
4
/
1
0
,
0
)
(
x
x
x
x
F
x
f








4
0
2
25
,
0
)
(
dx
x
dx
x
xf
MX
;
 








4
0
3
3
3
16
25
,
0
)
(
dx
x
dx
x
f
x
v
;
 










4
0
3
3
3
3
/
16
)
2
(
25
,
0
)
(
)
(
dx
x
dx
x
f
MX
x

. 
3-Misol.
Ko’rsatkichli (eksponensial) taqsimot qonuni bilan taqsimlangan 












0
,
0
,
1
,
'
0
,
0
)
(


x
e
lsa
bo
x
x
F
x
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning: 
a) zichlik funksiyasini; 
b) matematik kutilishini; 
v) dispersiyasini toping. 
 

---

Yechish.
a)
Ta’rifga asosan 








0
,
0
,
,
'
0
,
0
)
(
'
)
(



x
e
lsa
bo
x
x
F
x
f
x
b) Matematik kutilish ta’rifiga asosan: 















1
1
1
/
1
,
)
(
0
0
0
0
0












































e
dx
e
dx
e
e
x
e
dx
e
dx
du
u
x
dx
xe
X
M
x
x
x
x
x
x
 
v) Dispersiyaning ta’rifiga asosan: 
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
0
,
2
1
D( )
1
2
1
2
1
1
/
x
x
x
x
x
x
u du
xdx
Х
x e dx
e
dx
e
x
e
xe





























 
 





 
 
 
 







 








 
4-Misol.
Ushbu taqsimot funksiya bilan berilgan 
X
tasodifiy miqdorning matematik 
kutilishi va dispersiyasini toping.










,
'
,
1
,
,
1
'
,
1
0
,
,
'
,
0
,
0
)
(
2
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
lsa
bo
x
x
F
Yechish.
Zichlik funksiyasini topamiz.











1
,
0
1
0
,
2
,
'
,
0
,
0
)
(
'
)
(
x
x
x
lsa
bo
x
x
F
x
f
Matematik kutilishini topamiz. 
M(X)=
3
2
/
3
2
2
1
0
3
1
0
2



x
dx
x
 
Dispersiyasini topamiz. 
 
5
1
9
4
2
1
2
D(X)
2
3
2
1
0
3






dx
x

---

5-Misol.
Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, 
dispersiyasi va o’rtacha kvadratik chetlanishini toping. 
Yechish.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ta’rifiga ko’ra: 
 
dx
x
xf
X
M





)
(
=


dx
xe
a
a
x
2
2
2
2
1








yangi 

a
x
Z


o’zgaruvchi kiritamiz. U holda
.
,
dZ
dx
a
Z
x





yangi integrallash chegaralari oldingisiga tengligini hisobga olib, quyidagini hosil 
qilamiz. 



















dz
e
a
dz
ze
dz
e
a
z
X
M
z
z
z
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
(
2
)
(







Qo’shiluvchilardan birinchisini nolga teng (integral belgisi ostida toq funksiya, 
integrallash 
chegaralari 
koordinatalar 
boshiga 
nisbatan 
simmetrik). 
Qo’shiluvchilardan ikkinchisi Puasson integralining qiymati

2
2
2






dz
e
z
ekanligini hisobga olsak, uning qiymati 
a
ga teng. Demak, 
M(X)=
a
Uzluksiz tasodifiy miqdor dispersiyasi ta’rifiga ko’ra va 
M(X)=
a
ekanligini 
e’tiborga olib, quyidagiga ega bo’lamiz. 
D(X)=
dx
e
x
2
2
2
)
(
2
)
(
2
1













 
Yuqoridagiga o’xshash, Z=

a
x

yangi o’zgaruvchi kiritamiz. Bundan
,
Z
a
x



dz
dx


U holda
D(X)=
dz
e
z
z
2
2
2
2
2







 
ni hosil qilamiz: Bo’laklab integrallash natijasida 
D(X)=
2

ni topamiz. 

---

Demak, 




)
(
)
(
X
D
X
Shunday qilib, normal taqsimlangan tasodifiy miqdorda qatnashayotgan 
a
va 

parametrlarining ehtimoliy ma’nosi quyidagicha: 
M(X)=a, D(X)= 

2 
Amaliy mashg`ulot masalalari. 
1.
Sotishga qo’yilgan har biri 1000 dollar bo’lgan 10 ta motordan hech 
bo’lmaganda 1 ta nosozi chiqsa, xaridorga partiyaning 2 barobari miqdoridagi narxi 
qaytariladi. Har bir motorning nosoz bo’lish ehtimoli 0,08 ga teng bo’lsa, 
sotuvchining kutilayotgan daromadini toping. 
2.
Imtihon testlarida 15 ta savol bo’lib, ularning har birida 5 tadan javob variantlari 
bor. Javoblarning faqat bittasi to’g’ri. Aytaylik, talaba birorta ham savolga to’g’ri 
javobni bilmaydi. Uning hech bo’lmaganda 10 ta savolga to’g’ri javob berish 
ehtimolligi qancha? 
3.
X
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi: 
 













2
,
1
2
2
,
5
,
0
4
2
,
0
x
x
x
x
x
F
?

MX
?

DX
4.
X Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagicha


2
1
2
)
(
x
x
f



)
(




x
X ning matematik kutilishini toping. 
5.
X
tasodifiy miqdor (0.2) intervalda 
f(x)=
differensial funksiya bilan 
berilgan; bu intervaldan tashqarida 
f(x)=0. Y=φ(x)=x
2
funksiyasining matematik 
kutilishini ( dastlab 
Y
ning differensial funksiyasini topmasdan) toping. 
6.
X
tasodifiy miqdor (0, /2) intervalda 
f(x)=cosx
differensial funksiya bilan 
berilgan. Bu intervaldan tashqarida 
f(x) =0. Y=
-x
2
funksiyasining matematik 
kutilishini ( dastlab 
Y
ning differensial funksiyasini topmasdan) toping. 

---

7.
Agar 
M(X)=3, D(X)=16
ekanligi ma’lum bo’lsa, normal taqsimlangan 
X 
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping.
8.
X
uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi bilan berilgan.










,
'
,
1
,
,
0
'
,
1
0
,
,
2
,
'
,
0
,
,
0
)
(
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
lsa
bo
x
agar
x
f
M(X),
D(X)
va 

 (X)
larni toping. 
9.
Normal taqsimlangan X tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi

2
5
1
)
(

x
f
e
50
)
(
2
l
x


bilan berilgan 
M(X), D(X)
larni toping. 
10.
X
Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagicha


2
1
2
)
(
x
x
f



)
(




x
X
ning matematik kutilishini toping. 
13.
X
tasodifiy miqdor quyidagicha taqsimot funksiyasi bilan berilgan










,
'
,
1
,
1
,
'
,
1
0
,
,
'
,
0
,
0
)
(
2
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
lsa
bo
x
agar
x
F
X tasodifiy miqdorning 
M(X), D(X)
va 

(X)
sonli xarakteristikalarini toping. 
14.
X
tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi







,
'
,
0
,
0
,
'
,
0
,
)
(
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
e
x
f
x
bilan berilgan 
M(X)
va 
D(X)
sonli xarakteristikalarini toping. 
15.
X
tasodifiy miqdor
2
)
(
Ax
x
f

e
x








x
0
,
0

zichlik funksiyasi bilan berilgan. Taqsimot funksiyasi 
F(x)
ni toping. 
16.
X tasodifiy miqdor 

---







x
Barctgx
A
x
F
(
)
(
) 
taqsimot funksiyaga ega. 
a)
A
va 
B 
o’zgarmas sonlarni toping; 
b)
f(x)
zichlik funksiyasini toping; 
c)
M(X)
ni toping. 
17.
X
tasodifiy miqdor 











,
'
2
|
|
,
0
2
2
,
cos
)
(
lsa
bo
x
agar
x
agar
x
A
x
f



a)
A
koeffitsiyentni toping; 
b)
F(x)
taqsimot funksiyasini toping; 
v)
M(X)
va 
D(X)
ni toping.
18.
X 
tasodifiy miqdor 
















2
,
0
,
2
2
,
cos
2
,
2
,
0
)
(
2





x
x
x
x
x
f
zichlik funksiyasi bilan berilgan. 
M(X)
va 
D(X)
ni toping. 
19.
X
tasodifiy miqdor tekis taqsimot qonuniga bo’ysunadi.
M(X)=4, D(X)=3
. 
X
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. 
20.
X
tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuniga bo’ysunadi. 












2
,
1
2
0
,
4
0
,
0
)
(
2
x
x
x
x
x
F
M(X)
ni toping. 
21.
X 
tasodifiy miqdor quyidagi zichlik funksiya bilan berilgan 

---











1
,
0
1
0
,
3
0
,
0
)
(
2
x
x
x
x
x
f
M(X)
ni toping. 
22.
X 
tasodifiy miqdor quyidagi zichlik funksiya bilan berilgan. 







0
,
0
0
,
)
(
x
x
Ae
x
f
x
a)
A
koeffitsiyentini toping. 
b)
M(X)
ni toping. 
23.
X
tasodifiy miqdor Laplas taqsimot qonuniga bo’ysunadi, ya’ni 
0
1
)
(
|
|







x
e
x
f
zichlik funksiyaga ega. 

- ixtiyoriy haqiqiy son. 
M(X)
va 
D(X)
ni toping. 
24.
X
tasodifiy miqdor 








0
,
0
,
0
)
(
2
2
x
Axe
x
x
f
h
x
zichlik funksiyaga ega. 
a)
A 
koeffitsiyentini toping; 
b)
M(X)
va 
D(X)
ni toping. 
25.
X
tasodifiy miqdor quyidagi zichlik funksiyaga ega. 












5
,
0
5
0
,
4
45
6
4
3
0
,
0
)
(
2
x
x
x
x
x
x
f
M(X)
ni toping. 
26.
X
tasodifiy miqdor quyidagi zichlik funksiyaga ega. 












4
,
0
4
2
,
6
2
9
4
3
2
,
0
)
(
2
x
x
x
x
x
x
f

---

M(X)
ni toping. 
27.
X 
tasodifiy miqdor 
(-a,a
) intervalda 
2
2
1
)
(
x
c
x
f



zichlik funksiyasi bilan berilgan, bu intervaldan tashqarida 
f(x)=0, X
tasodifiy 
miqdorning dispersiyasini toping. 
28.
X
tasodifiy miqdor 
(0,1
) intervalda 
f(x)=x+0.5
differensialfunksiya bilan 
berilgan. Bu intervaldan tashqarida 
f(x)=0. Y=x
3
funksiyasining matematik 
kutilishini ( dastlab 
Y
ning differensial funksiyasini topmasdan) toping. 
29.
X 
tasodifiy miqdor (0, /4) intervalda 
f(x)=2cos2x
differensial funksiya bilan 
berilgan. Bu intervaldan tashqarida 
f(x) =0.
X miqdorning: a) modasini 
b) medianasini toping. 

---