1-mavzu: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning kanonik formalari va tavsifi. Xarakteristik tenglamasi. Koshi masalasining qo‘yilishi. Bir o’lchovli to’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi. Dalamber formulasi

Misol.
y
x
u
u
3
=
2

tenglamaning umumiy yechimini toping. 
Yechish:
Berilgan tenglamani
)
,
(
=
)
,
(
,
3
3
=
,
2
3
=




v
y
x
u
y
x
y
x


almashtirish yordamida 
0
=
12

v
ko'rinishga keltirish mumkin. Bu tenlamaning 
umumiy yechimi 
)
(
=
)
,
(




v
bo'ladi. Demak, 
y
x
u
u
3
=
2

tenglamaning umumiy 
yechimi 
)
2
(3
=
)
,
(
y
x
y
x
u


dan iborat. 
Xuddi shunga o'xshash, agar 



va
,
,
o'zgarmas sonlar bo'lib 
0


bo'lsa,
0
=
u
u
u
y
x








(1) 
tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishda bo'ladi.
)}.
(
2
{
exp
)
(
=
)
,
(
y
x
y
x
y
x
u










(2) 
Misol.
0
=
1)
sin
cos
(
sin
cos
2
2
x
y
yy
xy
xx
u
u
x
x
xu
xu
u







---

tenglamaning umumiy yechimini toping. 
Yechish:
Berilgan tenglamani
)
,
(
=
)
,
(
,
sin
=
,
sin
=




v
y
x
u
x
x
y
x
y
x




almashtirish yordamida 



v
v
0,5
=
,
kanonik ko'rinishga keltiramiz. Uning umumiy 
yechimini topish uchun 
w
v
=

belgilash kiritamiz. U holda 
w
w
2
1
=

tenglama hosil 
bo'ladi. Oxirgi tenglikni integrallab, 
w
funksiyani topamiz
,
)
(
=
0,5
,




e
f
w
bu yerda 

)
(

f
ixtiyoriy funksiya. Bundan va belgilashga ko'ra 



2
1
)
(
=
e
f
v
ga ega 
bo'lamiz. Bu ifodani integrallab,
)
(
)
(
=
)
,
(
2
2
1
1





f
e
f
v

ni hosil qilamiz, bu yerda 
)
(
),
(
2
1


f
f
- ixtiyoriy ikki marta uzluksiz 
differensiallanuvchi funksiyalar. 
Demak, boshlang'ich tenglamaning umumiy yechimi
)
sin
0,5(
1
)
sin
(
=
)
,
(
x
y
x
e
x
x
t
f
y
x
u




funksiyadan iborat. 
Misol.
0
=
u
yu
u
y
xy


tenglamaning umumiy yechimini toping. 
Yechish.
Berilgan tenglamani 
y
bo'yicha differensiallab,
0
=
0
=
yy
xyy
y
y
yy
xyy
yu
u
yoki
u
u
yu
u




ni hosil qilamiz. Bu tenglamani 
v
u
y
=
almashtirish yordamida
0
=
y
xy
yv
v

(3) 
ko'rinishda yozib olamiz. 
Bundan va 
y
u
v
yv
v
x






=
)
(
ni hisobga olib, quyidagiga ega bo'lamiz:
yv
v
u
x

=
(4) 
Endi (4) tenglamani 
w
v
y
=
almashtirish yordamida yechamiz:

---







xy
y
xy
x
e
y
y
x
v
e
y
y
x
w
yw
w
)
(
=
)
,
(
)
(
=
)
,
(
0
=


).
(
)
(
=
)
,
(
0
x
d
e
y
y
x
w
x
y









Bundan va (5) ga asosan boshlang'ich tenglamaning umumiy yechimi







d
e
y
y
x
x
y
y
x
u
x
y
)
(
)
(
)
(
)
(
=
)
,
(
0






Dan iborat bo'ladi. 
Misol
. Quyidagi
0
=
x
xy
u
u

ikkinchitartibliikkio'zgaruvchilixususiyhosilalidifferensialtenglamauchunqo'yilganq
uyidagi 

|<
|
1,
=
|
,
sin
=
|
=
=
x
u
x
u
x
y
x
x
y
(5) 
Koshi masalasi yechimini toping. 
Yechish:
Dastlab berilgan tenglamaning umumiy yechimini
v
e
u
y
x




=
(6) 
ko'rinishda izlaymiz, bunda 


,
lar ixtiyoriy kompleks yoki haqiqiy sonlar. (7) 
ning tenglamada qatnashgan hususiy hosilalarini topamiz:
,
=
x
y
x
y
x
x
v
e
v
e
u










.
=
xy
y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
xy
v
e
v
e
v
e
v
e
u






















Bu ifodalarni berilgan tenglamaga qo'yib va uning har bir hadini nolmas 
y
x
e

 
ifodaga bo'lib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
0.
=
)
(
1)
(
v
v
v
v
y
x
xy












(7) 


va
sonlari xtiyoriy bo'lganligi uchun ularni shunday tanlaymizki, (8) 
tenglama sodda ko'rinishga kelsin.
Agar
1
=
0,
=



(8) 
deb tanlasak,
0
=
xy
v
(9) 

---

tenglamani hosil qilamiz. (10) ni ketma-ket ikki marta integrallab, tenglama uchun
)
(
)
(
=
)
(
2
1
x
f
x
f
xy
v

(10) 
yechimni olamiz:
1.
sin
=
)
,
(



y
e
y
x
u
y
x
Amaliy mashg`ulot misollari 
I.
Quyidagi tenglamalarning umumiy yechimlari topilsin:
 
1. 
2
2
= 4
x
yy
xy
x
y
u
u
u
u
e



2. 
3
5
2
3
= 2
xx
xy
yy
x
y
u
u
u
u
u




3. 
2
3
6 = 2
x y
xy
x
y
u
u
u
u
e




4. 
=
x y
xy
x
y
u
au
bu
abu
ce




5. 
2
2sin
cos
= 0
cos
xx
xy
yy
y
u
xu
xu
xu



6. 
2
2sin
(cos
4)
4 = 0
cos
yy
xy
xx
y
xu
xu
u
x
u
u





7. 
(
)
= 0
xx
xy
yy
yu
x
y u
xu
 

8. 
2
3
7
4
3 = 0
xx
xy
yy
x
y
u
u
u
u
u
u





9. 
2 2
2
(1
)
2 (1
)
= 0
xx
yy
y
u
y
u
y
y u
 


II.
Ikkinchi tartibli ikki o'zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamalar 
uchun qo'yilgan quyidagi Koshi masalalari yechimini toping: 
1. 
0,
=
x
xy
u
u

,
sin
=
|
=
x
u
x
y
1
=
|
=
x
y
x
u
| |<
x

2. 
0,
=
2
2
y
x
yy
xx
u
u
u
u



=0
=0
|
= ,
|
= 0
| |<
y
x y
u
x
u
x

3. 
4,
=
2
2
y
x
yy
xx
u
u
u
u



=0
=0
|
=
,
|
=
1
|
|<
x
x x
u
y
u
y
y



4. 
2,
=
3
2
yy
xy
xx
u
u
u


=0
=0
|
= 0,
|
=
cos
| |<
y
x y
u
u
x
x
x


5. 
0,
=
xyu
xu
yu
u
x
x
xy



2
5
=3
=3
|
= 0,
|
=
| |< 1
x
y
x
x
y
x
u
u
e
x

6. 
0,
=
)
(
yy
xy
xx
yu
u
y
x
xu



3
2
1
1
=
=
|
=
,
|
= 2
> 0
x
y
y
x
x
u
x
u
x
x
7. 
0,
=
2
2
2
y
yy
xx
yu
u
y
u
x


=1
=1
|
= ,
|
=
< 0
x
x x
u
y
u
y
y
 

---

Bir o`lchovli to`lqin tenglamalari uchun Koshi masalasi. Dalamber 
formulasi. 
 
Ushbu
0
>
,
<
<
0
,
)
(
]
)
(
[
=
)
(
t
l
x
u
x
q
u
x
u
x
x
x
tt



tenglamaning 
0}
,
0
:
)
,
{(
=



t
l
x
t
x
P
yo’lakda aniqlangan uzluksiz 
l
x
x
u
l
x
x
u
t
t
t
<
<
0
),
(
=
|
0
),
(
=
|
0
=
0
=




(1) 
boshlang'ich shartlarni hamda







0
0,
=
)
,
(
)
,
(
0
0,
=
)
(0,
)
(0,
t
t
l
u
t
l
u
t
t
t
u
x
x




(2) 
chegaraviy shartlarni qanoatlanturuvchi 
)
,
(
t
x
u
yechim topilsin. 
Bu yerda 
)
(
),
(
),
(
),
(
),
(
x
p
x
q
x
x
x



-berilgan funksiyalar va 




,
,
.
,
l
- berilgan 
sonlar bo'lib, 
0,
>
0,
>
)
(
0,
)
(
0,
>
)
(
l
x
p
x
q
x


0.
0,
2
2
2
2








2
)
(
0,
)
(
1,
)
(
a
x
p
x
q
x




bo'lganda (1) dan tor tarqalish tenglamasi, 
0
0,
=
=
0,
=
=






bo'lganda (2) 
dan mos ravishda I, II, III chegaraviy shartlar kelib chiqadi. Bu odatda chegaraviy 
masala deb yuritiladi. Yuqorida 
qo'yilgan 
aralash 
masalani 
Fur'yening 
o'zgaruvchilarni ajratish usuli bilan yechish mumkin. Uning nazariy asosi 
talabalarga ma’ruza darsidan ma’lum. Hozir biz bu usulni quyidagi misollarda 
tushuntiramiz. 
Misol.
0
>
,
<
<
0
,
=
2
t
l
x
u
a
u
xx
tt
(3) 
tenglamaning
l
x
x
l
x
l
u
l
x
u
t
t
t





0
,
2
sin
2
3
sin
=
|
,
0
0,
=
|
0
=
0
=


(4) 
boshlang'ich shartlarni hamda
0
=
)
,
(
0
=
)
(0,
t
l
u
t
u
x
(5) 

---

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi 
)
,
(
t
x
u
yechimi topilsin.
 Yechish.
Yechimni quyidagicha, ya'ni
)
(
)
(
=
)
,
(
t
T
x
X
t
x
u
(6) 
ko'rinishda izlaymiz. Bu tenglikni (3) tenglamaga olib borib qo'usak,
0,
=
)
(
)
(
2
t
T
a
t
T



(7) 
0.
=
)
(
)
(
x
X
x
X



(8) 
ko'rinishdagi oddiy differensial tenglamalarga ega bo'lamiz,
bu yerda 

-o'zgarmas parametr. (8) ni (5) ga qo'yish natijasida 
0
)
(

t
T
ekanligini 
hisobga olib,
0
=
)
(
0,
=
(0)
l
X
X

(9) 
shartga ega bo'lamiz. Bu shart Shturm-Luivill masalasi deyiladi. 
(3) ko'rinishdagi (4) shartni qanoatlantiruvchi 
)
,
(
y
x
u
yechimni topish uchun 
(8) tenglamani (9) chegaraviy shartlarnini qanoatlantiruvchi yechimini topish 
zarurdir. 
Agar 
0
>

bo'lsa, (8) tenglamaning (9) chegaraviy shartlarnini 
qanoatlantiruvchi yechimi mavjud.
(8) tenglamaning umumiy yechimi
x
C
x
C
x
X


sin
cos
=
)
(
2
1

ko'rinishda bo'ladi. (9) shartlarga binoan
1
2
= 0,
cos
= 0
C
C
l



Bunda 
0,
2

C
aks holda 
0
=
)
(
x
X
bo'lar edi.
Demak,
0,1,2,...
=
,
4
)
2
(1
=
2
=
0
=
cos
2
2
2
n
l
n
n
l
l
n












chunki,
cos
= sin
,cos
=
sin
2
2
n
n
n
n





















(8), (9) masalaning yechimi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:
0,1,2,...
=
,
2
)
2
(1
sin
=
)
(
n
x
l
n
x
X
n



---

Endi har bir 
2
2
2
4
)
2
(1
=
l
n
n



ni (7) ga qo'yib, uning umumiy yechimi
t
l
n
a
b
t
l
n
a
a
t
T
n
n
n
2
)
2
(1
sin
2
)
2
(1
cos
=
)
(





ko'rinishda ekanligini topamiz, bu yerda 
n
n
b
a
,
-ixtiyoriy o'zgarmas sonlar. 
(6) ga asosan yuqoridagilardan kelib chiqadiki, har bir
=
)
(
)
(
=
)
,
(
t
T
x
X
t
x
u
n
n
n
x
l
n
t
l
n
a
b
t
l
n
a
a
n
n
2
)
2
(1
sin
2
)
2
(1
sin
2
)
2
(1
cos
=













funksiya (1) tenglamani va (5) shartni qanoatlantiradi. Tenglamaning 
chiziqliligidan xusuiy yechimlarning cheksiz yig'indisi ham yechim bo'ladi, ya'ni
=0
(1 2 )
(1 2 )
(1 2 )
( , ) =
cos
sin
sin
2
2
2
n
n
n
a
n
a
n
n
u x t
a
t
b
t
x
l
l
l















(10)
Bu funksiyani 
t
bo'yicha differensiallab,
=0
(1 2 )
(1 2 )
(1 2 )
(1 2 )
( , ) =
sin
sin
sin
2
2
2
2
t
n
n
n
a
n
a
n
a
n
n
u x t
b
t
a
t
x
l
l
l
l


















tenglikni hosil qilamiz va boshlang'ich shartlarga asosan
=0
(1 2 )
( , 0) =
sin
= 0
2
n
n
n
a
n
u x
a
x
a
l






x
l
x
l
x
l
n
a
l
n
a
b
x
u
n
n
t
2
sin
2
3
sin
=
2
)
2
(1
sin
2
)
2
(1
=
,0)
(
0
=









tengliklarga ega bo'lamiz. Bundan



l
x
l
a
b
l
x
l
a
b
l
x
l
a
b
2
3
sin
2
5
2
3
sin
2
3
2
sin
2
2
1
0













x
l
x
l
x
l
n
a
l
n
a
b
n
n
2
sin
2
3
sin
=
2
)
2
(1
sin
2
)
2
(1
3
=




3,4,...
=
0,
=
,
3
2
=
,
2
=
1
0
n
b
a
l
b
a
l
b
n



Bularni (10) tenglikka olib borib qo'ysak, (3)-(5) aralash chegaraviy masalaning 
yechimini hosil qilamiz:
.
2
3
sin
2
3
sin
3
2
2
sin
2
sin
2
=
)
,
(
x
l
t
l
a
a
l
x
l
t
l
a
a
l
t
x
u








---