2 mа’ruzа Ikki va uch nоma’lumli chiziqli tеnglamalar sistеmasini. Kramеr fоrmulalari yordamida еchish. Gauss usuli. Matritsa va ular ustida amallar

Sistemaning birgalikda bo’lish sharti.

(1) sistema berilgan bo’lsin. Noma’lumlar oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan A matritsa sistemaning matritsasi deyiladi. A matritsaga o’ng tomondan ozod hadlardan iborat ustun qo’shilsa, uni B bilan belgilaymiz, sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb ataluvchi matritsa hosil bo’ladi:

B matritsaning rangi A matritsa rangidan birga katta bo’lishi yoki bo’lishi mumkin.
Teorema (Kroneker-Kopelli). (1) sistema birgalikda bo’lishi uchun , ya’ni sistema matritsasining rangi uni kengaytirilgan matritsasining rangiga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.
Bu teoremani isbotsiz qabul qilamiz.
A matritsada bo’lsa (1) sistemada noma’lumlar soni tenglamalar soniga teng bo’ladi.
Teorema (yechimlar soni haqida). (1) sistema uchun birgalikda bo’lish sharti, ya’ni bajarilgan bo’lsin. U holda, agar matritsa rangi noma’lumlar soni ga teng bo’lsa, , sistema yagona yechimga ega bo’ladi. Agar matritsa rangi noma’lumlar soni n dan kichik bo’lsa, sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Bu holda noma’lumlarga ixtiyoriy qiymatlar berib, qolgan noma’lumlarni ularga nisbatan yagona ko’rinishda aniqlash mumkin.
1-izoh. Agar sistema matritsaning rangi tenglamalar soni ga teng bo’lsa, , u holda sistema ozod hadlarning har qanday qiymatlarida ham birgalikda bo’ladi, chunki kengaytirilgan matritsaning rangi ham ga teng bo’ladi (matritsaning rangi uning satrlari sonidan katta bo’lmaydi).
2-izoh. Sistema birgalikda bo’lganda, Kroneker–Kopelli teoremasi sistema ildizlarini topish uchun aniq formulalar beradi. Buning uchun:
1) Sistema matritsasida noldan farqli eng yuqori tartibli minorni aniqlash
2) noldan farqli minorga kirmagan satrlarga mos keluvchi tenglamalarni tashlab yuborish
3) noldan farqli minorga koeffitsientlari kirmagan noma’lumlarni o’ng tomonga o’tkazish va o’ng tomondagi noma’lumlarga ixtiyoriy qiymatlar berib chap tomondagi noma’lumlarning mos qiymatlarini aniqlash lozim.
bo’lsa, sistema birgalikda bo’lmaydi.