2 mа’ruzа Ikki va uch nоma’lumli chiziqli tеnglamalar sistеmasini. Kramеr fоrmulalari yordamida еchish. Gauss usuli. Matritsa va ular ustida amallar

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishni Gauss usuli.
Chiziqli tenglamalar sistemasi (1) berilgan bo’lsin. Noma’lumlar soni tenglamalar soniga teng bo’lishi shart emas.
Sistema (1) ni Gauss usuli bilan ochish quyidagidan iborat. Elementar shakl almashtirishlardan foydalanib bitta tenglamadan (masalan, birinchi tenglama) tashqari barcha qolganlarida noma’lum oldidagi koeffisent nolga aylantiriladi. Birinchi tenglamadan tashqari tenglamalardan bittasidan tashqari qolgan barchasida noma’lum oldidagi koeffitsentlarni nolga aylantiramiz va hokazo davom ettirib sistemani


(3)

ko’rinishidagi pog’onali sistemaga yoki uchburchak holdagi sistemaga keltiramiz. Uchburchak holga kelsa (tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng hol), oxirgi tenglamadan ni topamiz, oxiridan bitta oldingisidan ni va hokazo topamiz.

Agar sistema (3) ko’rinishga kelsak, n-k noma’lum ozod noma’lumlar deb qabul qilinadi va qolgan noma’lumlar ular orqali aniqlanadi
(cheksiz ko’p yechim holi).

Misol 3.

sistemani Gauss usulida yeching.

Yechish. Birinchi tenglamadan ni aniqlab, uning qiymatini qolgan tenglamalardagi ni o’rniga qo’yib, topamiz:

Bu sistemaning ikkinchi tenglamasidan ning qiymatini uchinchi tenglamaga qo’yamiz.

Bu sistemaning yechimi (3, 2, 1) ni topamiz.

Keltirilgan algoritmni sistemaning koeffitsentlari va ozod hadlaridan tuzilgan kengaytirilgan matrisa ustida bajarish ham mumkin.