4-ma’ruza. Ratsional kasrlarni integrallash Reja

3. Ratsional funksiyani integrallash.
-ratsional funksiya berilgan bo’lib, uning aniqmas integralini topish talab etilgan bo’lsin. Ma’lumki ratsional funksiyani ikkita va butun ratsional funksiyalarning nisbati, ya’ni

shaklida tasvirlash mumkin.
Agar - kasr, noto’g’ri kasr, ya’ni suratdagi ko’phadning darajasi, maxrajdagi ko’phadning darajasidan katta bo’lganda, uning butun qismi ajratilib, butun ratsional funksiya va to’g’ri kasr yig’indisi shaklida tasvirlanadi, ya’ni
,
nig darajasi ning darajasidan kichik. So’ngra ikkala tomondan integral olinadi.

bunda integral butun ratsional funksiyaning integrali sifatida oson integrallanadi, integral esa, avvalo to’g’ri kasrni 1-teorema singari sodda kasrlar yigindisi shaklida tasvirlab, sungra yuqoridagi 1⁰- 4⁰ xossalardagidek integrallanadi.

Misol. ni hisoblang.
Yechilishi. - to’g’ri kasrni 1- teoremaga asosan (6) ko’rinishdagi sodda kasrlar yig’indisi shaklida tasvirlaymiz:
(7)
so’ngra tenglikning o’ng tamonini umumiy maxrajga keltirib, tenglikning ikkala tomonidagi maxrajni tashlab

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik o’rinli bo’lishi uchun tenglikning ikkala tomonidagi - ning bir xil darajalari oldidagi koeffisiyentlar o’zaro teng bo’lishi kerak, ya’ni



Shunday qilib, noma’lum koeffisiyentlarni topish uchun yuqoridagi algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu algebraik tenglamalar sistemasini yechib, noma’lum koeffisiyentlarni topamiz:

topilgan koeffisiyentlarni (7)ga ko’yib, so’ngra tenglikning ikkala tomonidan integral olamiz.

O’z – o’zini tekshirish uchun savollar.
1.Ko’phadning ildizi deb nimaga aytiladi.
2. Sodda kasrlar deb nimaga aytiladi.
33. To’g’ri kasrlarni sodda kasrlar yig’indisi ko’rinishida qanday tasvirlanadi.
4. Sodda kasrlarni integrallash usulini ayting.
5. Ratsional funksiyani integrallash usulini ayting.