6-mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning matritsalar usuli. Kramer qoidasi

6-mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning matritsalar usuli. Kramer qoidasi

Reja

1. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer qoidasi.
   
2. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsalar usuli.
   
3. 
   Chiziqli tenlamalar sistemasining yechishning Kramer qoidasi va teskari matritsalar usulining iqtisodiyotda qo’llanilishi.
   

Tayanch soʻz va iboralar: chiziqli tenglamalar sistemasi (ChTS), Kramer teoremasi, Kramer formulalari, teskari matritsa.
Kramer qoidasi. Agar n ta noma’lumli n ta

_ a₁₁x₁  a₁₂ x₂  ....  a_1n x_n  b₁,

^a x  a x  ....  a x  b ,

^ 21 1 22 2 2n n 2



^ ... ... ... ... ... ...

(1)

^_ a_n1x₁  a_{n 2} x₂  ....  a_nn x_n  b_n .

chiziqli tenglamalar sistemaning  determinanti noldan farqli boʻlsa, u holda (1) sistema yagona yechimga ega boʻladi va bu yechim quyidagi formulalar bilan topiladi:

^x  ^x1 ,

_ 1 _

^ x

_x₁ ^1 ,

_{ } (2)

^

^ x

^x  ⁿ

^{ n} 

bu yerda

x₁ ,

x₂ , …,

x_n

determinantlar  determinantda noma’lumlar oldidagi

koeffisiyentlarni mos ravishda ozod hadlar bilan almashtirish orqali hosil qilinadi.

2. 
   formulalarga Kramer formulalari deyiladi.
   
   1. 
      misol. Quyidagi
      

_2x₁  x₂ 

x₃  7,

^ 4x  2x  3x  5,

^ 1 2 3

^ x  3x  2x  1

 1 2 3

chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini Kramer formulalari yordamida toping.

Yechish. Sistemaning asosiy determinanti  ni hisoblaymiz. Bunda

2 1 1

 4 2 3

 27 .

  0

1 3 2

boʻlganligi sababli berilgan sistema aniq sistemani tashkil qiladi va u yagona yechimga ega boʻladi. Bu yechim Kramer formulalari yordamida quyidagicha topiladi:

x  ^x1 

¹  27

 ⁸¹  3,

27

x  ^x2 

²  27

 ⁵⁴  2 ,

27

x  ^x3 

³  27

 ²⁷  1.

27

Demak, tenglamalar sistemaning yechimi: (–3; 2; 1).

Mashqni bajaring. Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching.

^{7x1  5x2  31,}

_x₁  2x₂  4x₃  31,

_x₁  x₂  x₃  6,


1) ^4x  11x  43,

2) 5x  x  2x  20,

3) ^2x  x  x  3,

^ 1 3

^ 1 2 3

^ 1 3

^2x  3x  4x

 20.

^3x  x  x  9.

^x  x  x  5.

 1 2 3

 1 2 3

 1 2 3

_x₁  x₂  x₃  2, _x₁  2x₂  x₃  10,

4) ^2x  x  x  0,

^  x  x  20,

^ 1 2 3

^{5) 2x}1 2 3

^x  x  x  6.

^x  3x  x  30.

 2 3  1 2 3

Agar

 0

boʻlib,

x₁ ,

x₂ , …,

x_n

lardan birortasi noldan farqli boʻlsa, u holda

(1) sistema yechimga ega boʻlmaydi.

2. 
   misol. Quyidagi
   

_2x₁  x₂  3x₃  3,

^4x  2x  6x  5,

^ 1 2 3

^3x  2x  2

 1 2

chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini Kramer formulalari yordamida toping.

Yechish. Tenglamalar sistemasining asosiy determinanti  ni hisoblaymiz.

Bunda:

2 1 3

  4 2 6

3 2 0
 0 .
  0

boʻlganligi sababli berilgan sistemadan

x₁ ,

x₂ , x₃

larni hisoblaymiz. Bu

yechim Kramer formulalari yordamida quyidagicha topiladi:

x₁ 

3 1 3

5 2 6

2 2 0

 6 ,
x₂ 

2 3 3

4 5 6

3 2 0

 9 ,
x₃ 

2 1 3

4 2 5

3 2 2

 1.

Demak, tenglamalar sistemaning yechimga ega emas, chunki

 0 va

x₁  0 ,

x₂  0 , x₃  0 .

Mashqni bajaring. Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching.

^ 1 2 3


_2x₁  x₂  3x₃  3, 1) ^4x  2x  6x  5,

_4x₁  x₂  3x₃  3, 2) _8x₁  2x₂  6x₃  5,

_x₁  x₂  3x₃  3,


^ 1 2 3
3) ^2x  2x  6x  5,

^3x  2x  x  2.

^3x  2x  2x  2.

^3x  2x  3x  2.

 1 2 3

 1 2 3

 1 2 3

Agar

 0

boʻlib,

x₁  x₂  ....  x_n  0

boʻlsa, u holda (2) sistema

cheksiz koʻp yechimga ega boʻladi.

3. 
   misol. Quyidagi
   

_2x₁  x₂  3x₃  3,

^4x  2x  6x  6,

^ 1 2 3

^6x  3x  9x

 9.

 1 2 3

chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini Kramer formulalari yordamida toping.

Yechish. Sistemaning asosiy determinanti  ni hisoblaymiz. Bunda:

2 1 3

  4 2 6  0

6 3 9

boʻlganligi sababli berilgan sistemaning

x₁ , x₂ , x₃

determinantlarini

hisoblaymiz. Bu yechim Kramer formulalari yordamida quyidagicha topiladi:

3 1 3

x₁  6 2 6

9 3 9

 0 ,
x₂ 

2 3 3

4 6 6  0 ,

6 9 9
x₃ 

2 1 3

4 2 6  0 .

6 3 9

Demak, tenglamalar sistemasi cheksiz koʻp yechimga ega chunki

  0 va

x₁  0 ,

x₂  0 ,

x₃  0 .

Agar sistemaning yechimi cheksiz ko‘p bo‘lsa, u holda uning umumiy yechimini Kramer qoidasi bilan ham topish mumkin.

4-misol.

_2x₁  x₂  3x₃  3,

^4x  2x  6x  6,

^ 1 2 3

^6x  4x  5x

 9.

 1 2 3

sistemaning yechimini toping.

Yechish. Sistemaga ekvivalent sistemani hosil qilamiz:

_2x₁  x₂  3x₃  3,

^6x  4x  5x  9.

 1 2 3

Sistemaning determinantlarini hisoblaymiz:

_ 2 1

 2,

x 

3x₃  3 1

 7x

 3,

x  ²

3x₃  3 _{ 8x .}

6 4 ¹

5x₃

 9 4

3 2 ₆

5x₃  9

3
U holda Kramer formulalari yordamida quyidagi yechimni hosil qilamiz va undan sistemaning yechimi cheksiz ko‘p ekanligini ko‘rishimiz mumkin:

_{x } 7x₃  3 _{ } 7 _x

 ³ ,

x  ^8x3  4x ,

¹ 2 2

3 ₂ 2 ₂ 3

_ 7 3 _ ^.

 
x₃    X _  ₂   ₂ , 4 _

Shuni ta’kidlashimiz kerakki, bu yerda biz asosiy determinant sifatida

_ 2 1

6 4

determinantni oldik. Agar sistemaning yechimini topishda asosiy

determinant sifatida

_ 2 3

6 5
yoki

_ 1 3

4 5
determinantlarni olib sistema

yechimining boshqa ko‘rinishlarini ham hosil qilishimiz mumkin.

Mashqni bajaring. Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching.

_x₁  x₂  3x₃  3,


^ 1 2 3


1) ^4x  4x  12x  12,

_4x₁  x₂  3x₃  3, 2) _8x₁  2x₂  6x₃  6,

_x₁  2x₂  3x₃  4, 3) ^2x  4x  6x  8,

^ 1 2 3
^3x  3x  9x  6.

^12x  3x  9x  9.

^3x  6x  9x  12.

 1 2 3

 1 2 3

 1 2 3

Kramer formulalari asosan nazariy jihatdan ahamiyatga ega. Agar sistemada noma’lumlar soni koʻp boʻlsa, bu qoida yordamida yechilganda katta va ogʻir hisoblashlarni bajarishga olib keladi. Lekin, bu formulalar muhim afzallikka ega, ular barcha noma’lumlarning qiymatlarini aniq ifodalaydi.

Ushbu n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:

_ a₁₁x₁  a₁₂ x₂  ....  a_1n x_n  b₁,

^a x  a x  ....  a x  b ,

^ 21 1 22 2 2n n 2



^ ... ... ... ... ... ...

(3)

^_ a_n1x₁  a_{n 2} x₂  ....  a_nn x_n  b_n .

(2.8) tenglamalar sistemada quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

^{ a}11 ^a12

^ a a

...

...

^a_1n   ^x₁   ^b₁ 

_a   _x   _b 

A  ^

21 22 2n _{, X  }

2 _,

B  ^

2 _{ .}

^ ... ... ... ... ^{ }  ^{ }  ^

^ a a

...

_a   _x   _b 

 n1 n 2

nn   n   n 

Bu yerda, A  noma’lumlar oldida turgan koeffisiyentlardan tuzilgan matritsa;

X noma’lumlardan tuzilgan matritsa; B  ozod hadlardan tuzilgan matritsa. U holda (3) tenglamalar sistemasini

koʻrinishda ifodalash mumkin.

AX  B

Faraz qilamiz, det

A  0

boʻlsin. U holda A matritsa uchun

_A1

teskari

matritsa mavjud. AX  B

koʻpaytiramiz:

tenglikning har ikkala tomonini

_A1

ga chapdan

A^1AX

 A^1B,

EX  A^1B,

X  A^1B.

Hosil boʻlgan

X  A^1B

ifoda chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar

usuli bilan yechish formulasidan iborat.

5. 
   misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar usuli bilan yeching:
   

_2x₁  2x₂  3x₃  5,

^ x  x  x  0,

^ 1 2 3

^ 3x  x  x  2.

 1 2 3

Yechish. A, X , B matritsalarni tuzib olamiz:

^ 2 2

3 ^

 _x1 

 ₅ 

     

A  _ 1 1 1 _ , X  _ x_{2 } , B  _ 0 _ .

^ 3 1 1 ^

 _x   ₂ 

Bundan, det

 

A  12  0.

 ³   

Teskari matritsani topamiz:

1 1 1 1
1 1

A₁₁ 

 2 ,

1 1

A₁₂  _{3 1}  2,

A₁₃  _{3 1}

 4,

2 3 2 3 2 2

A₂₁  _{1 1}  5, A₂₂  _{3 1}  11, A₂₃  _{3 1}

 4,

A₃₁ 

 1,

A₁₁ 

_ 2

 5,

5

2	3		2 3		2	2
1	1		1 1		1	1

1_

A₃₃ 

 4,

A^1   ^{1 } 2 11 5 ^ .

₁₂  

^ 4 4 4 ^

 

Bundan:

_ 2 5 1_{ } 5 _{ }

10  0  2 _{ } 12 _{ } 1 _

X  A^1B   ^{1 } 2 11

5 ^  ^ 0 ^   ^{1 }

10  0 10 ^   ^{1 }

₀  _  ₀ 

₁₂    

₁₂  

₁₂    

^ 4 4

_4   ₂  

20  0  8 ^{ }

12 ^{ } 1 ^

         

Demak,

x₁  1,

x₂  0 ,

x ₃  1 yoki _1;0; 1_ .

Mashqni bajaring. Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching.


_2x₁  x₂  2x₃  6, 1) _3x₁  2x₃  8,

_3x₂  2x₃  5,


^ 1 2 3
2) ^2x  x  x  4,

^x  x  x  1.

^x  2x  1.

 1 2 3  2 3


_x₁  2x₃  5,

3) _3x₁  x₂  9,

_x₁  x₂  2x₃  4, 4) ^2x  x  3,

^ 2 3
^x  x  2x

 1.

^x  x  2.

 1 2 3  1 2

Agar sistema matritsasining rangi tenglama noma’lumlari sonidan kichik bo‘lsa ham uning yechimini teskari matritsa usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda ko‘rib chiqamiz.

5. 
   misol. Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yeching
   

_x₁  2x₂  3x₃  5x₄  2,

^2x  x  4x  x  3,

^ 1 2 3 4



_ A B <sub>

</sub>3x₁  3x₂  8x₃  2x₄  1,

^_2x₁  2x₂  5x₃ 12x₄  4

Yechish. Tenglamalar sistemasi matritsasi A va kengaytirilgan matritsasi

_ 1 2 3

5 _

 1 2 3

5 2 

_{ }  

_{A  } 2 1 4 1 _{,  A B  } 2 1 4 1 3_

^ 3 3 8

2 ^

^ 3 3 8

2 1^

^ 2 2 5 12 ^{ } 2 2 5 12 4 ^

  _{ }

larning rangini topib

 1	2	3	5	2 	 1	2	3	5	2 
 2	1	4	1	3^	^0 5 2 11 7 ^  
 3	3	8	2	1^	 0	3	1	13	7 ^




2


^ 2 5

 _

4

 
12 ^{ }





0 2
1 2 0 _

 1 2 3

5 2

  1

2 3

5 2 


^ 0 5




0 5


2 11

 



⁷  _ 

2 11

7 _


^ 0 0 1 32 14 ^{ } 0 0 1 32 14 ^




 
^ 0 0 1 32 14 ^{ } 0 0 0 0 0 _

r _ A_  r _ A B_  3 ekanligini koʻramiz. Uning minori

1 2 3

 2 1 4  8 18  24  9  32  12  1

3 3 8

noldan farqli. Shuning uchun toʻrtinchi tenglamani tashlab yuboramiz, qolgan

tenglamalarda

x₄ qatnashgan hadlarni oʻng tomonga oʻtkazamiz.

_x₁  2x₂  3x₃  2  5x₄ ,

^2x  x  4x  3  x ,

^ 1 2 3 4

^3x  3x  8x  1  2x .

 1 2 3 4

Bu sistemani teskari matritsa usuli bilan yechamiz. Avval asosiy matritsa teskarisini Gauss-Jordan usulida topamiz:

2	3 1	0
1	4 0	1
3	8 0	0

 1 0   1 2 3

1 0 0   1 7 0 8 0 3 

2

 


^ 0 ^  ^ 0 5


3

 


 ₁   _{0 3}

2 2 1 0 ^  ^ 0 1 0 4 1 2 ^ 

 

 




1 3 0 1 ^{ } 0 3 1 3 0 1^

 1 0 0 20 7 11

_ 20 7 11_

 ^ 0 1 0 4 1 ^ A^1  ^ 4 1 2 ^ .

_ 2 _, _{ }

^ 0 0 1 9

3 5 ^

^ 9

3 5 ^

_{ }  

Tenglamalar sistemasining umumiy yechimni topish uchun bajaramiz:

X  A^1  B

amalni

_ 20 7 11_{ }

2  5x₄

_{ } 10  71x_{4 }

X  ^ 4 1 2 ^  ^ 3  x ^  ^ 7 15x ^

   ⁴   ⁴ 

^ 9 3 5 ^{ } 1  2x ^{ } 14  32x ^

   4   4 

Javob: _30  71x₄ ;  7 15x₄ ; 14  32x₄ ; x_{4 }, x₄  R

x₄ ga ixtiyoriy qiymatlar berib

x₁,

x₂ , x₃

noma’lumlarning mos

qiymatlarini topamiz. Sistema cheksiz koʻp yechimga ega.

Mashqni bajaring. Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yeching:

_x₁  x₂  3x₃  3,


^ 1 2 3
1) ^4x  4x  12x  12,

_4x₁  x₂  3x₃  3,



2) _8x₁  2x₂  6x₃  6,

_x₁  2x₂  3x₃  4, 3) ^2x  4x  6x  8,

^2x  3x  4x  5.

^2x  x  5x  4.

^2x  3x  5x  12.

^ 1 2 3
 1 2 3

 1 2 3

 1 2 3

5. 
   misol. Quyidagi tenglamani yeching:
   

 _{2 1}    _{3 6 5 8
} 0 1_{ X }1 3 _{  } 4 0 _

     

Yechish. Tenglamaga quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

A  ^{ 0 1}, B  ^{ 1 3 }, C  ^{ 4 0 } .


2 1 3 6 5 8
     

     

U holda berilgan tenglama

koʻrinishni oladi.

A  X  B  C

Agar AXB ifodaning chap tomondan

_A1

va oʻng tomondan

B^1 ga

koʻpaytirsak, hamda

A^1A  E,

EX  X ,

BB^1  E

va XE  X

ekanligini hisobga

olsak quyidagi yechimga ega boʻlamiz:

1 ^{ 1}

1_{ } 4 0 _

_ 2 1 _

X  A^1CB^1  

  ^   ^{  1  }

² _ ^{2 0} _{ } ^{5 8} _ ^ 1  ₃ ^

_{1 } 1
8_
 2 1

  ₃

 

_ 5 _

 _{ }  ^


₁  _  ₆  _.

² _ ^{8 0} _ ^ 1

_ 3   _{8 4} 

   

Mashqni bajaring. Quyidagi tenglamalarni yeching:

₁₎  ^{0 1} _X  ^{1 3}  _  ^{4 0}  _{, 2)}  ^{0 1} _X  ^{2 3}  _  ^{4 0}  _,

3 1 3 2 2 8

5 1 3 2 2 5
     

     

 _{3 1}    _{2 5 2 1
3) } 2 1_{ X } 1 3_{  } 4 0 _.

     

Agar sistemada m  n va r( A)  m

     

     

boʻlib, r _ A_  r _ A B_ boʻlgan holda

ham teskari matritsa usulidan foydalanib uning yechimini topsa boʻladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasining iqtisodiyotda qoʻllanilishiga doir misollar keltiramiz.

Masala. A va B mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun 2 turdagi xom ashyodan foydalaniladi. Bir birlik A mahsulotni ishlab chiqarish uchun 5 birlik 1- tur va 4 birlik 2-tur xom ashyo sarflanadi, bitta B mahsulotni ishlab chiqarish

uchun esa, 3 birlik 1-tur va 5 birlik 2-tur xom ashyo ishlatiladi. 1-tur xom ashyo 62 birlik, 2-tur xom ashyo 73 birlik berilgan boʻlsa, ishlab chiqarilgan A va B mahsulot miqdorini toping.

Bu masalaning matematik modelini tuzish maqsadida

x₁ bilan ishlab

chiqarilishi kerak boʻlgan A mahsulot miqdorini,

x₂ bilan esa ishlab chiqarilishi

kerak boʻlgan B mahsulot miqdorini belgilaylik. Bu holda

5x₁

A mahsulotni

ishlab chiqarish uchun sarflangan 1-tur xom ashyo miqdorini,

3x₂

esa B

mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarflangan 1-tur xom ashyo miqdorini

ifodalaydi.

5x₁  3x₂

A va B mahsulotni ishlab chiqarish uchun sarflanadigan 1-

tur xom ashyo jami sarfi miqdorinni ifodalaydi, bu xom ashyo chegaralangan

boʻlib, 62 birlikda mavjud, demak

5x₁  3x₂  62

tenglama kelib chiqadi. Xuddi

shunday qilib, 2-tur xom ashyo sarfi uchun qilamiz. Shunday qilib,

4x₁  5x₂  73

tenglamani hosil

_5x₁  3x₂  62,

^4x  5x  73.

 1 2

Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qildik. Bu tenglamalar sistemasi berilgan A va B mahsulotlarni ishlab chiqarishda, xom ashyo sarfining matematik modelini ifodalaydi.

Yechish. Kramer usulidan foydalanib yechimini topamiz.

 _{4 5}
_{A  } 5 3 _

 
det

A  25 12  13  0
. Bunda

det

A  0

boʻlganligi sababli berilgan sistema aniq sistemani tashkil qiladi va u

yagona yechimga ega boʻladi. Bu yechim Kramer formulalari yordamida quyidagicha topiladi:

x₁ 
x₁

62 3

_ 73 5

13
 ⁹¹  7 ,

13
x₂ 
x₂

5 62

_ 4 73

13
 ¹¹⁷  9.

13

Demak, tenglamalar sistemaning yechimi:

(x₁, x₂ )  (7,9).

5. 
   misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari 1-jadvalda berilgan.
   

1-jadval

Xom ashyo turlari	Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari			Xom ashyo zahirasi (tonna)
	1	2	3
1	5	12	3	20
2	2	6	8	16
3	9	7	4	20

Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlang.

Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda

x₁, x₂ , x₃

lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun

sarfi 5 birlik boʻlganligi uchun 5x₁

1. 
   tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1-
   

xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2, 3-tur mahsulotlarni ishlab

chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda

12x₂ ,

3x₃

boʻlib,

uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi: Yuqoridagiga oʻxshash 2, 3-xil xom ashyolar uchun

2x₁  6x₂  8x₃  16,

9x₁  7x₂  4x₃  20

5x₁  12x₂  3x₃  20 .

tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

<sup>5x1  12x2  3x3  20,

</sup>2x  6x  8x  16,

^ 1 2 3

^9x  7x  4x

 20 .

 ^{1 2 3}

Bu masalaning matematik modeli uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi. Bu masala tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishda teskari matritsalar usulidan foydalanamiz:

_5x₁  12x₂  3x₃  20,

^2x  6x  8x  16,

^ 1 2 3

^9x  7x  4x

 20

 1 2 3

_ 5 12 3_

 ^x₁ 

_ 20 _

A  ^ 2 6 8 ^ , X  ^ x ^ , B  ^16 ^ .

   ²   

^ 9 7 4 ^

 _x 

 ₂₀ 

   3   

Bundan, det

A  488  0. Teskari matritsani topamiz:

_{A } 6 8
 32 ,

A  ^{2 8}
 64,

_{A } 2 6
 40,

11 <sub>7 4

A</sub> 12 3

12 _{9 4}

5 3

13 _{9 7}

5 12

₂₁  _{7 4}

 27,

A₂₂  _{9 4}  7

A₂₃  _{9 7}

 73,

A  ^{12 3}  78,

A   ^{5 3}  34,

A  ^{5 12}  6

31 _{6 8}

32 _{2 8}

33 _{2 6}

_ 32 27 78 _


A^1  ^{1 } 64  7 34 ^ .

488 ^{ }

^  40 73 6 ^

Bundan:

_ 36

 
27 81 _{ } 20 _{ } 640  432  1560 _

X  A^1B  ^{1 } 64  7 34 ^  ^16 ^  ^{1 }


1280 112  680 ^ 

₄₉₅    

495 ^{ }

^  31 73 1

  ₂₀  

 800  1168  120 ^

     

_ 488 _{ }1_


 ^{1 } 488^  ^1^.

₄₈₈    

 ₄₈₈ ₁

   

Demak,

x₁  1,

x₂  1,

x ₃  1 yoki _1;1;1_ .

O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar

1. 
   n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi uchun Kramer teoremasi nimani aniqlab beradi?
   
2. 
   Aniqmas chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib yechish mumkinmi?
   
3. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsa shaklida yozish mumkinmi va qanday?
   
4. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi matritsa ko’rinishida qanday yoziladi?
   
5. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsa usulida yechish yoki teskari matritsa usulining afzallik va noqulaylik jihatlari nimalardan iborat?
   
6. 
   Chiziqli tenlamalar sistemasining iqtisodiyotda qo’llanilishi.
   

Foydalanishga tavsiya etiladigan adabiyotlar roʻyxati

1. 
   Mike Rosser. Basic mathematics for economists. London and New York. 1993, 2003.
   
2. 
   M.Harrison and P.Waldron. Mathematics for economics and finance. London and New York. 2011.
   
3. 
   M.Hoy, J.Livernois et. al. Mathematics for Economics. The MIT Press. London&Cambridge. 2011.
   
4. 
   Robert M. Leekley. Applied Statistics for Businiess and Economics. USA. 2010.
   
5. 
   Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics. N.-Y. 2005.