6-mavzu. Mulohazalar hisobi. Deduksiya teoremasi. Reja

2. Xulosa qoidasi. Agar va AV lar mulohazalar hisobining isbotlanuvchi formulalari bo‘lsa, u holda V ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi. Bu qoida quyidagicha sxematik ravishda yoziladi:
.
Isbotlanuvchi formulaning ta’rifi.
a) Har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir;
b) Isbotlanuvchi formuladagi o‘zgaruvchi o‘rniga ixtiyoriy formulani qo‘yish natijasida hosil bo‘lgan formula isbotlanuvchi formula bo‘ladi.
v) va isbotlanuvchi formulalardan xulosa qoidasini qo‘llash natijasida olingan V formula isbotlanuvchi formuladir;
g) Mulohazalar hisobining boshqa hech qanday formulasi isbotlanuvchi deb sanalmaydi.
1-ta’rif. Isbotlanuvchi formulalarni hosil etish protsessi (jarayoni)ga isbot qilish (isbotlash) deb aytiladi.
2-misol. ekanligi (implikatsiyaning refleksivligi) isbotlansin.
Implikatsiyaning refleksivligini isbotlash uchun ushbu
- I₂
aksiomadan foydalanamiz. Bu yerda o‘rniga qo‘yishni bajarish natijasida
(1)
kelib chiqadi. - I₂ aksioma va (1) formulaga xulosa qoidasini qo‘llab
(2)
formulani hosil qilamiz.
(2) formulaga nisbatan quyidagi o‘rniga qo‘yishni
(2)
bajarish natijasida
(3)
isbotlanuvchi formulaga ega bo‘lamiz.
- IV₂ aksioma va (3) formulaga nisbatan xulosa qoidasini qo‘llash natijasida
(4)
isbotlanuvchi formulaga kelamiz. Nihoyat (4) formuladagi o‘zgaruvchi o‘rniga formulani qo‘ysak

isbotlanishi kerak bo‘lgan formula hosil bo‘ladi.
3-misol. ekanligini isbotlang.
- II₃ aksiomaga nis-batan ketma-ket ikki marta o‘rniga qo‘yish usulini qo‘llaymiz: avval ni ga va keyin ni ga almashtiramiz. Natijada quyidagi isbotlanuvchi formulaga ega bo‘lamiz
. (5)
(5) formulaga nisbatan (5) o‘rniga qo‘yishni bajarib, quyidagini hosil qilamiz
. (5a)
Endi
(6)
(7)
formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko‘rsatamiz.
Buning uchun - IV₁ aksiomaga nisbatan

o‘rniga qo‘yishni bajaramiz. Natijada
(8)
formulaga ega bo‘lamiz. (8) formula va - III₁ aksiomaga nisbatan xulosa qoidasini ishlatib, (6) ning isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Xuddi shunday (7) ning ham isbotlanuvchi formula ekanligini ko‘rsatish mumkin.
(6) va (5) formulalarga xulosa qoidasini qo‘llasak,
(9)
isbotlanuvchi formula kelib chiqadi.
(7) va (9) formulalarga xulosa qoidasini qo‘llab,

dastlabki formulaning isbotlanuvchi ekanligini hosil qilamiz.