Algebrada gruppa, halqa va maydon tushunchalari. Misollar. Zn maydoni. Z5 maydoni

Teorema 1: gruppaning element uchun tenglikni qanoatlantiruvchi (birlik) element yagonadir. Isbot: Faraz qilaylik yuqoridagi tenglikni qanoatlantiruvchi birlik va elementlar mavjud bo’lsin.U holda element uchun va shartlar bajariladi. tenglikda sifatida

olaylik. U holda

(5)

tenglik hosil bo’ladi. tenglikda sifatida ni olaylik. U holda

(6)

tenglik kelib chiqadi. Olingan (5) va (6) tengliklardan kelib chiqadi. Demak (birlik) element yagona ekan.

Teorema 2: Gruppaning element uchun tenglikni qanoatlantiruvchi (teskari) element yagonadir.

Isbot: Faraz qilaylik, gruppaning berilgan bir a elementi uchun bir b element yuqoridagi tenglikni qanoatlantirsin ya’ni bo’lsin. Isbotlashimiz kerak tenglikni. Yuqoridagi tengliklardan ushbu tenglik kelib chiqadi yani tenglik chiqadi. Demak harbir a element uchun teskari elementi yagona ekanligi isbotlandi.

Biror bo’sh bo’lmagan to’plam berilgan bo’lib, bu to’plamda binar amal aniqlangan bo’lsin. Binar amalni quyidagicha belgilaylik.

Ta’rif 4: to’plamda aniqlangan binar amal uchun juftlik gruppa bo’sin va quyidagi shart bajarilsin:

elementlar uchun tenglik o’rinli bo’lsin (kommutativlik).

Bu holda juftlikka abel gruppa deyiladi.

Misol 2 dagi gruppaning abel gruppa ekanligi ma’lum.

Bo’sh bo’lmagan to’plam berilgan bo’lsin. to’plamda ikkita binar amal – qo’shish va ko’paytirish amallari aniqlangan bo’lsin.