Algebrada gruppa, halqa va maydon tushunchalari. Misollar. Zn maydoni. Z5 maydoni

Ta’rif 5: to’plamda qo’shish va ko’paytirish amallariga ko’ra quyidagi shartlar bajarilsin:

1). qo’shish amaliga nisbatan Abel gruppasi bo’lsin.

2). dagi ko’paytirish amali assosiativ bo’lsin.

3). elementlar uchun va shartlar bajarilsin (distributivlik shartlari).

Bunday uchlikka halqa deyiladi.

- ratsional sonlar maydoni bo’lsin.

Misol 5: to’plamda qoshish amali yuqorida tariflangan edi. Ko’paytirish amalini quyidagicha tariflaymiz: va elementlar uchun kopaytirish “∙” amali quyidagi ko’rinishda tariflanadi. to’plamning qoshish va kopaytirish ”.”amallariga nisbatan halqa tashkil etishini ko’rsatamiz.

Ikkita va elemantlar teng deyiladi, agar mos koeffitsiyentlari bir-biriga teng bo’lsa: ya’ni tenglik o’rinli bo’ladi.Tengliikning nolga teng ekanligidan,quyidagi va tengliklar kelib chiqadi.

Qo’shish amaliga nisbatan gruppa ekanligini yuqorida ko’rsatdik, Abel gruppa tashkil etishi uchun esa amaliga nisbatan kommutativ ekanligini ko’rsatish yetarli. tenglikdan va tengliklardan amalining kommutativ ekanligi kelib chiqadi. Demak Abel gruppa ekan.

elementlar uchun tenglikning chap tomonidan quyidagi (7)

tenglik kelib chiqadi va tenglikning o’ng tomonida quyidagi

(8)

tenglik kelib chiqadi. Kommutativligiga ko’ra (7) va (8) tengliklar teng ekanligi kelib chiqadi. Demak assosiativlik sharti bajarilishi korsatildi.

elementlari uchun tenglikning bajarilishini ko’rsatamiz. Tenglikning chap tomonidan quyidagi (9)

tenglik kelib chiqadi.Tenglikning o’ng tomonidan esa (10)

tenglik kelib chiqadi.Yuqoridagi (9) va (10) tengliklardan ko’rinadiki, distributivlik sharti o’rinli bo;ladi.

Demak uchlik halqa tashkil etadi.

Bizga halqa berilgan bo’lsin.