Algebraik ifoda. Algebraik

13.  Aniq  integral.  Aniq integral matematik tahlilning muhim tushunchasi bo‘lib, 
geometriya, mexanika, fizika, iqtisodiyot va boshqa fanlarning ko‘pgina masalasi aniq 
integralni  hisoblashga  keltiriladi. 
]
,
[ b
a
  kesmada  uzluksiz 
)
(x
f
  funksiya  berilgan 
bo‘lsin. 
]
,
[ b
a
  kesmani 
,
1
i
i
i
x
x
x
 
)
......
,
2
,
1
(i
  qismiy  kesmalarga 
ajratamiz, har bir qismiy kesmada bittadan 
n
,.....,
,
2
1
 nuqtalar tanlaymiz. Bu 
nuqtalarda 
)
(
i
C
f
 
funksiya 
qiymatlarini 
hisoblab, 
n
n
x
C
f
x
C
f
x
C
f
2
2
1
1
  yig‘indini  tuzamiz,  bu  yig‘indiga 
)
(x
f
  funksiya  uchun 
]
,
[ b
a
  kesmadagi,  integral  yig‘indisi  deb  ataladi. 
i
n
i
x
1
max
 belgilash kiritamiz. 
Ta’rif. Integral yig‘indining 
]
,
[ b
a
  kesmaning qismiy kesmalarga bo‘linish usuliga 
va ularda 
n
,.....,
,
2
1
 nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmagan 
0
  dagi  

 
226

chekli limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga 
)
(x
f
  funksiyaning 
]
,
[ b
a
   kesmadagi  aniq  
integrali deyiladi. Aniq integral 
b
a
dx
x
f
)
(
 bilan belgilanadi. Ta’rifga asosan: 
n
i
i
i
b
a
x
C
f
dx
x
f
1
0
lim
 
bo‘ladi. 
)
(x
f
  funksiya 
]
,
[ b
a
   kesmada uzluksiz bo‘lsa, u integrallanuvchi, ya’ni  
bunday  funksiyaning aniq integrali mavjud. 
14. Aniqlanish sohasi. Funksiya haqiqiy qiymat qabul qiladigan, erkli o‘zgaruvchi, 
argumentning (q) qiymatlari to‘plamiga, funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi. 
Masalan, 
2
25 x
 funksiyaning aniqlanish sohasi, 
25
2
  bo‘lib,  [-5,  5]  
kesmadan iborat bo‘ladi. 
15.  Aniqmas integral.  Berilgan 
x
f
  funksiyaning  boshlang‘ich 
x
f
x
F
C
x
F
  funksiyalar  to‘plamiga, 
)
(x
f
  funksiyaning  aniqmas 
integrali deyiladi va 
dx
x
f
 
bilan belgilanadi, ya’ni 
x
f
x
F
C
x
F
dx
x
f
,
 
bo‘ladi. Masalan,  
,
cos
sin
C
x
dx
x
 chunki 
x
x
sin
cos
. 
16.  Aniqmas  ifodalar.  Bazan 
  sonini 
)
(
F
funksiyaga rasman   qo‘yib, keyin 
funksiyaning qiymatini hisoblaganda qo‘yidagi ko‘rinishda ifodalar hosil bo‘ladi: 
1) 
0
0
,  2) 
,  3) 
,  4) 
0
0
, 5) 
1
, 6) 
0
 . 
Bu ifodalar algebra nuqtai nazaridan ma’nosizdir, lekin matematik tahlil tushunchalariga 
asoslanib, ba’zi hollarda ularga aniq ma’no berish mumkin. Chunonchi, 
)
(x
F
  funksiya 
a
 nuqtaning biror atrofida (
a
x
 nuqtadan boshqa) uzluksiz bo‘lsa, 
)
(a
F
 deganda 
x
F
a
x
lim
 tushuniladi. Bu limitni hisoblash, aniqmaslikni ochishdir. 
0
0
  va 
 
ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochishda, ushbu xossadan foydalaniladi: 
x
f
 va 
x
 
funksiyalar 
a
x
 nuqtaning biror atrofidagi hamma nuqtalarda teng bo‘lsa, ularning 
a
x
 dagi limiti ham teng bo‘ladi.  
Masalan, 
3
2
9
2
x
x
x
f
  va 
2
3
x
x
  funksiyalar 
x
  ning 
3
x
  dan  boshqa 
hamma qiymatlari uchun teng. Yuqoridagi xossaga asosan, ularning 
3
x
  dagi 
limitlari ham teng bo‘ladi, ya’ni 

 
227

.
3
2
6
2
3
lim
3
2
9
lim
3
2
3
x
x
x
x
x
 
17.Aniqmas koeffitsiyentlar usuli. Ifodaning ko‘rinishi oldindan ma’lum bo‘lgan holda, 
bu ifodaning koeffitsiyentlarini topishda qo‘llaniladigan usul. Masalan, har qanday 
ratsional funksiyani (q) oddiy kasrlar yiqindisi ko‘rinishida yoyish mumkin. 
 
Misol uchun, 
6
5
1
2
2
x
x
x
 
ratsional funksiyani sodda kasrlar yig‘indisi ko‘rinishida yoyish kerak bo‘lsin. Uni ushbu 
ko‘rinishda 
 
2
3
6
5
1
2
2
x
B
x
A
x
x
x
 
 
yozamiz. Oxirgi tenglikni 
6
5
2
x
x
 ifodaga ko‘paytirsak, 
3
2
1
2
x
B
x
A
x
 
bo‘lib, 
B
A
x
B
A
x
3
2
1
2
 
tenglikni hosil qilamiz. Bir xil darajali   lar koeffitsiyentlarini tenglashtirib, 
 
1
3
2
2
B
A
B
A
 
sistemani hosil qilamiz. Bundan 
3
,
5
bo‘ladi. Shunday qilib, 
2
3
3
5
6
5
1
2
2
x
x
x
x
x
 
hosil bo‘ladi. Bu usul matematikada keng qo‘llaniladi. 
18. Aniqmasliklarni ochish.  Limit  ishorasi  ostida  bo‘lgan  funksiya  erkli 
o‘zgaruvchisi(argument) o‘rniga son rasman qo‘yib,  hisoblaganda ko‘pincha qo‘yidagi 
turdagi  aniqmas ifodalarga (q) olib keladi:  
0
0
,       
,   
, 
0
0
,    
1
,     
0
 ,  
0
. 
Bu ifodalarda argumentning tekshirilayotgan yaqin   qiymatlarida   funksiya aniq 
qiymatlarga ega bo‘lishi mumkin.   Shuning uchun 
0
  da  funksiya  qo‘shni 
qiymatlaridan juda oz farq qiladigan qiymat qabul qiladi, deb hisoblash tabiiydir. Limit 
mavjud bo‘lsa, 
x
f
x
f
x
x
0
lim
0
   
 
 
(1) 

 
228

x 
y 
0 
1-
 
deb olish mumkin. Aniqmasliklarni ochish (1) ning haqiqiy  qiymatini hisoblab topishdan 
iborat. Aniqmasliklarni ochishda murakkab bo‘lmagan, shakl almashtirishlar yordamida 
0
0
  yoki 
 ko‘rinishdagi ifodalarga keltirilib, 
ular Lopital  qoidasidan (q) foydalanib topiladi.