O’zbekiston Respublikasi Oliy va O’rta Maxsus
Ta’lim Vazirligi
Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
«Oliy matematika» kafedrasi
“Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari”
mavzusi bo’yicha uslubiy ko’rsatma ishi
Namangan-2015
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
«Oliy matematika» kafedrasi uslubiy seminarida ko’rib chiqilib, chop etishga
tavsiya qilingan.
Majlis bayoni № 1 28.08.2015 yil
Namangan Muhandislik- pedagogika instituti ilmiy – metodik kengashi tomonidan
tasdiqlangan.
Majlis bayoni № 1 30.08.2015 yil
Ro’yxat raqami № 42
Mualliflar : f-m.f.n. dots. Y. Oppoqov
k. o’q. А. Jo’rayev
ass. A.To’xtaboyev
Taqrizchi : f-m.f.n, dots. Х.Rasulov
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari
1.
To`g`ri to`rtburchaklar formulasi
Faraz qilaylik,
)
(x
f
y
=
funksiya
[ ]
b
a, kesmada uzluksiz funksiya bo`lsin.
Ushbu
ò
b
a
dx
)
x
(
f
aniq integralni hisoblash talab qilinsin.
[ ]
b
,
a
kesmani
b
x
,......,
x
,
x
a
n
=
=
1
0
nuqtalar bilan
n
ta bo`lakka ajratamiz. Har bir bo`lakning
uzunligi
n
a
b
x
-
=
D
ga teng bo`ladi.
)
(x
f
funksiyaning
n
x
,......,
x
,
x
,
x
,
x
3
2
1
0
nuqtalardagi qiymatini mos ravishda
)
x
(
f
y
.
.
.
.
.
),
x
(
f
y
),
x
(
f
y
n
n
=
=
=
1
1
0
0
belgilaymiz va quyidagi yig`indini tuzamiz.
1
0
1
1
0
1
2
1
......
,
......
.
n
n
i
i
n
n
i
i
y x y x
y
x
y x
y x y x
y x
y x
-
-
=
=
D + D +
+
D
= D
D + D +
+ D
= D
å
å
Bu yig`indilarning har biri
[ ]
b
,
a
kesmada
)
(x
f
funksiyaning integral yig`indisi
bo`lishi ravshan va shuning uchun taqriban integralni ifodalaydi:
0
1
2
1
1
2
( )
(
...
),
(1)
( )
(
...
).
(2)
b
n
a
b
n
a
b a
f x dx
y
y
y
y
n
b a
f x dx
y
y
y
n
-
-
»
+ + + +
-
»
+ + +
ò
ò
(1) formula (ichki) va (2) formula (tashqi) lar o`rinli bo`ladi.
Taqribiy hisoblashning absolyut xatoligi
n
a
b
M
R
4
)
(
2
1
1
-
=
(3)
dan katta emas. Bu yerda
n
a
b
x
h
x
f
M
b
a
-
=
D
=
¢
=
;
)
(
max
]
,
[
1
bo’lak uzunligi.
2.Trapesiyalar formulasi
[ ]
b
,
a
kesmani n ta teng bo`lakka bo`lamiz.
n
a
b
x
-
=
D
)
(x
f
y
=
chiziqning har bir yoyini
bu yoyning uchlarini tutushtiruvchi vatar bilan almashtiramiz.
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Berilgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini n ta to`g`ri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini
yig`indisi bilan almashtiramiz.
( )
0
1
1
1
2
( )
(
.....
)
4
2
2
2
b
n
n
a
y
y
y y
y
y
f x dx
x
x
x
-
+
+
»
D +
D +
+
D
ò
Bu trapetsiyalar formulasidir.
Trapetsiyalar formulasini absolyut xatoligi
2
3
2
2
12
)
(
n
a
b
M
R
-
=
dan katta emas. Bu yerda
)
(
max
]
,
[
2
x
f
M
b
a
¢¢
=
.
3. Simpson formulasi
[ ]
b
a, kesmani
2
=
n
ta juft
miqdordagi teng qismlarga bo`lamiz.
Uchta nuqta olamiz va bu
(
)
0
0
у
;
x
(
)
1
1
у
;
x
,
(
)
2
2
у
;
х
nuqtalar orqali
С
Вх
Ах
У
+
+
=
2
parabolani
o`tkazamiz. Bu parabola bilan
)
x
(
f
y
=
funksiya grafigini
almashtiramiz. Huddi shunga
o`xshash
)
x
(
f
y
=
[ ]
b
a, funksiya
grafigi
[
] [
]
6
4
4
2
х
;
х
,
х
;
x
va boshqa
kesmalarga almashtiramiz.
Shunday qilib
)
x
(
f
y
=
egri chiziqli trapetsiya yuzini bu kesmadagi parabolalar bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini yig`indisi bilan almashtiramiz.
Bunday egri chiziqli trapetsiyalar parabolik trapetsiyalar deyiladi.
parabola tenglamasining
С
,
В
,
А
koeffisentlari parabolaning berilgan uchta nuqtadan o`tish
shartidan aniqlanadi.
С
,
В
,
А
koeffisentlarni parabolaning
[
]
(
) (
)
2
2
0
0
у
;
h
,
у
;
,
у
;
h
-
nuqtalardan o`tish
shartidan to’amiz.
m
а
b
n
а
b
x
h
2
-
=
-
=
D
=
ï
î
ï
í
ì
+
+
=
=
+
-
=
C
Вh
Аh
у
С
у
,
C
Вh
Аh
y
2
2
1
2
0
bu tenglamalar sistemasini yechib
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
(
)
2
1
0
2
2
2
1
y
y
y
h
А
+
-
=
(
)
0
2
1
2
1
y
y
h
В
,
Y
C
-
=
=
ni aniqlaymiz.
Endi parabolik trapetsiyaning S yuzasini aniq integral yordamida topamiz.
(
)
(
)
C
Ah
h
сх
х
В
x
A
dx
С
Вх
Ах
S
h
h
h
h
6
2
3
2
3
3
2
3
2
1
+
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
=
+
+
=
-
-
ò
А
va
В
ning topilgan qiymatlarini o`rniga qo`yib, quyidagilarni hosil qilamiz:
)
y
y
y
(
h
S
)
y
y
y
(
h
S
4
3
2
2
2
1
0
1
4
3
4
3
+
+
=
+
+
=
)
y
y
y
(
h
S
6
5
4
3
4
3
+
+
=
)
y
y
y
(
h
S
.........
..........
..........
..........
..........
m
m
m
m
2
1
2
2
2
2
4
3
+
+
=
-
-
(
)
0
2
1
3
2
1
2
4
2
2
( )
4(
...
) 2(
...
)
3
b
m
m
m
a
h
f x dx
y
y
y
y
y
y
y
y
-
-
=
+
+
+ + +
+
+ + +
ò
(5)
bunda
m
a
b
x
h
2
-
=
D
=
Shunday qilib, aniq integralni taqribiy hisoblashning Simpson formulasi (parabolik
trapetsiyalarni formulasi) bunday ko`rinishni oladi.
(
)
0
2
1
3
2
1
2
4
2
( )
4(
...
) 2(
...
)
2
b
m
m
m
a
b a
f x dx
y
y
y
y
y
y
y
y
m
-
-
=
+
+
+ + +
+
+ + +
ò
(6)
Sim’son formulasining absolyut xatosi
m
a
b
x
h
n
a
b
M
R
2
2880
)
(
4
5
3
3
-
=
D
=
-
=
dan katta
emas. Bu yerda
)
(
max
]
,
[
3
x
f
M
IV
b
a
=
.
1-misol Ushbu
ò
+
=
1
0
1 x
dx
I
integralni taqribiy qiymatini to`g`ri to`rtburchaklar formulasi
bo`yicha hisoblang.
Yechish. Avval integralni aniq qiymatini Nuyuton-Leybnits formulasi bo’yicha
hisoblaymiz.
ò
»
=
+
=
+
1
0
.
69315
.
0
2
ln
0
1
1
ln
1
a
x
dx
[0;1] kesmani
1
.
0
10
0
1
=
-
=
Dx
qadam bilan teng 10 bo’lakka ajratamiz va har bir nuqtada
x
x
f
+
=
1
1
)
(
funktsiyani qiymatini hisoblab quyidagi jadvalni tuzamiz.
i 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
i
0 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
y
i
1 0.9091 0.8333 0.7692 0.7143 0.6667 0.6250 0.5882 0.555 0.526 0.500
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
1. To`g`ri to`rtbrchak formulasi bo’yicha
1
.
0
10
0
1
,
10
=
-
=
D
=
x
h
bo’yicha (1) formulaga qo’yib hisoblaymiz
71877
.
0
)
5263
.
0
...
9091
.
0
1
(
1
.
0
=
+
+
+
»
I
(2) formula bo’yicha
66877
.
0
)
5
.
0
...
8333
.
0
9091
.
0
(
1
.
0
=
+
+
+
»
I
;
Endi xatoligini hisoblaymiz:
x
x
f
+
=
1
1
)
(
va
2
)
1
(
1
)
(
+
-
=
¢
x
x
f
1
)
1
(
1
max
)
(
max
2
1
£
+
-
=
¢
=
x
x
f
M
demak
025
.
0
10
4
1
4
)
(
2
1
1
=
×
=
-
=
n
a
b
M
R
dan ortmaydi.
2. Trapetsiya formulasi bo’yicha
(4) formulaga asosan
)
1,000 0,5000
0,1(
0,9091
0,5263
0,69377
2
I
+
»
+
+
+
=
LL
hosil bo`ladi.
2
1
( )
(1
)
f x
x
¢
= -
+
, bo`lganligi uchun
3
2
( )
(1
)
f x
x
¢¢
=
+
[ ]
1
,
0 kesmada
( )
2
£
¢¢ x
f
. Demak,
2
2
=
M
Natijani xatosi
2
2
2
(
)
2
1
0,02
12
12 100
600
M b a
n
-
=
=
<
×
Kattalikdan ortiq bo`lmaydi.
Integralni absolyut xatosi
0,69315 0,69377
0,00062
-
=
3. Simpson formulasi bo’yicha
2
10
n
m
=
=
bo`lsa,
1
3
30
b a
x
n
-
D
=
=
(6) formulaga asosan
1
(1,0000 0,5000 4(0,9091 0,7692 0,6667 0,5882 0,5263)
30
2(0,833 0,7143 0,6250 0,5556)) 0,693146
I
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Natijaning absolyut xatosi
(
)
[ ]
(
)
5
5
4
0,1
24
24
,
max
24
1
1
IV
f
M
x
x
=
=
£
+
+
.
5
3
3
4
(
)
24
0,000008
2880
2880 10000
b a
R
M
n
-
=
=
»
×
dan ortmaydi.
Natijalarni taqqoslab, Simpson formulasi ancha aniq ekaniga ishonch xosil qilamiz.
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
2-misol.
( )
2
2
0
sin x dx
ò
integralni trapetsiyalar formulasi yordamida hisoblang.
Yechish.
2
.
0
10
0
2
,
10
=
-
=
-
=
D
=
n
a
b
x
n
quyidagi jadvalni to’ldiramiz.
i
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i
x 0 0.2
0.4
0.6
0.8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
i
y
0 0,004 0,1593 0,3523 0,5972 0,8415 0,9915 0,9249 0,5487 0,3427 0,1576
trapetsiya formulasiga asosan
2
2
0
0 0.1576
sin( )
0.2 (
0.04 0.1593 0.3523 0.5972 0.8415 0.9915 0.9249 0.5487 0.3427 ) 1.11722
2
x dx
+
»
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
ò
Endi absolyut xatoligini topamiz:
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( )
sin
2 cos
( ) 2cos
4 sin
max 2 cos
4 sin
2
f x
x
x
x
f x
x
x
x
M
x
x
x
¢
¢
=
=
¢¢
=
-
=
-
£
013
.
0
300
4
100
*
12
8
*
2
12
)
(
2
3
2
2
=
=
=
-
=
n
a
b
M
R
dan katta emas.
3-misol.
12
3
2
13
x
dx
+
ò
integralni parabolalar formulasi yordamida taqribiy hisoblang.
Yechish.
12 2
10,
1.
10
n
h
x
-
=
= D
=
=
( )
3
13
f x
x
=
+
quyidagi jadvalni to’ldiramiz.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
i
y
4,582 6,324 8,775 11,747 15,133 18,868 22,913 27,240 31,828 36,661 41,725
(6) formulaga asosan
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
(
)
(
)
12
3
2
1
13
4,5882 41,725 4 6,324 11,747 18,868 27,240 36,661
3
2 8,775 15,133 22,913 31,828
197,808
x
dx
+
»
+
+
+
+
+
+
+
éë
+
+
+
+
=
ùû
ò
Mustaqil yechish uchun misollar.
Quyidagi integrallarni integrallash oralig`ini 10 bo`lakka bo`lib, to`g`ri to`rtburchak,
Trapetsiyalar va Simpson formulalari yordamida taqribiy hisoblang. Absolyut xatoni aniqlab
bo`lmagan holda hisoblashlarni 0,001 aniqlikda bajaring.
1.
13
3
3
3
x
dx
+
ò
2.
10
3
0
4
x
dx
+
ò
3.
10
3
0
1
x
dx
+
ò
4.
2
4
sin x
dx
x
p
p
ò
5.
1
0
1
2
dx
x
+
ò
6.
8
3
2
12
x
dx
-
+
ò
7.
1
2
0
x
e dx
-
ò
8.
2
0
1
3
dx
x
+
ò
9.
12
3
2
8
x
dx
+
ò
10.
3
0
1
4
dx
x
+
ò
11.
1
2
0
3 x dx
-
ò
12.
12
2
2
7
x
dx
+
ò
13.
5
0
1
2
dx
x
-
ò
14.
11
3
1
6
x
dx
+
ò
15.
2
cos x
dx
x
p
p
ò
16.
2
1
1
7
dx
x
+
ò
17.
14
3
4
5
x
dx
+
ò
18.
7
2
1
dx
lnx
ò
19.
8
3
1
1
dx
x
-
ò
20.
11
3
1
9
x
dx
+
ò
21
.
3
0
cos x dx
p
ò
22.
8
5
1
7
dx
x
+
ò
23.
15
3
5
1
x
dx
-
ò
24.
1
3
0
1 4x dx
+
ò
25.
3
0
1
7
dx
x
+
ò
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Ё. Х. Соатов «Олий математика» 1-2-қисм. Тошкент-1995 й.
2.
Д.Т.Ж.Жўраев «Олий математика асослари» 1-2-қисм Тошкент-1995 й.
3.
В. Е. Шнайдер ва бошқалар «Олий математика қисқа курси» 2-қисм Тошкент-
1992 й.
4.
В. П. Минорский «Олий математикадан масалалар тўплами» Тошкент-1977 й.
5.
П. Е. Данко и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах» Част I. Москва-
1986 г.
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Document Outline - Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
- Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
- Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
- Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
- Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
- Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
- Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
- Ro’yxat raqami № 42
- Mualliflar : f-m.f.n. dots. Y. Oppoqov
- k. o’q. А. Jo’rayev
Do'stlaringiz bilan baham: |