Aperiodik, tebranuvchi, konservativ zvenolar

x(p)=L[x(t)],
L – Laplasning integral operatori va u quyidagicha aniqlanadi:
x(p) = (3)


Laplas almashtirishining asosiy hususiyatlari:
1. Argumentning τ ga kech qolishiga tasvirni ga ko’paytmasi mos tushadi (originalning surilish teoremasi), ya’ni
L{x(t- τ)}= x(p) (4)
Bu hususiyat kech qoluvchi argumentli differentsial tenlamalarning tasvirini topish imkoniyatini beradi.
2. Originalni boshlang’ich nol sharoitlarida differentsiyalashga tasvirni ga ko’paytmasi mos tushadi, ya’ni
L{ }x(0)=0 =p x(p),
shuning uchun o’zgaruvchi p ni rasmiy ravishda differentsiallash belgisi deb hisoblash mumkin. Statikada =0.
Umumiy holda
L{ }x(0)=0 = x(p). (5)
Integrallash differentsiallashga teskari amal bo’lganligi uchun originalning integrali tasvirni p ga nisbatiga mos tushadi, ya’ni
L{ }=x(p)/p.
(5) hususiyat (2) differentsial tenlamalarning Laplas bo’yicha tasvirni quyidagicha yozish imoniyatini beradi:
.
Shunday qilib, (2) differentsial tenlamalarning Laplas bo’yicha tasviri algebraic ifoda ekan. Demak, ushbu algebraic ifodani chiqish o’zgaruvchisining taviriga y(p) nisbatan echimini topgandan keyin tasvirdan originalga qaytib o’tish mumkin bo’ladi.
Bu operatsiya Laplasning teskari almashtirishi deb ataladi va deb belgilanadi:
.
Laplasning teskari almashtirishi quyidagi integral bilan aniqlanadi:
.
Tasvir bo’yicha originalni va original tasvirni topishni osonlashtirish maqsadida oddiy funktsiyalar uchun mahsus jadvallar ishlab chiqilgan bo’lib ular ushbu fan bo’yicha manbalarda keltirilgan. Murakkab tasvirlarning originalini topishda tasvirni oddiy kasirlarga yoyish formulasidan foydalaniladi.
Avtomatik rostlanuvchi ob’ektning (yoki dinamik zvenoning) chiqish va kirish o’zgaruvchilarining Laplas bo’yicha tasvirlarining o’zaro nisbati uzatish funktsiyasi deb ataladi:

yoki, yuqoridagi funktsiyani quyidagicha yozish mumkin:

bu yerda, va p ning n va m tartibli polinomlari.
Uzatish funktsiyasi - avtomatik rostlanuvchi ob’ektning (yoki dinamik zvenoning) dinamik tavsifi, uzatish koeffitsienti K - ob’ektning static tavsifi. Demak, statica (sokinlik, p=0) dinamikaning (harakatning, ) hususiy holidir, ya’ni
K = .
Uzatish funktsiyasi faqat chiziqli tenglamalar uchun aniqlangan va chiziqlilik hususiyatni ifoda etadi. Masalan, agar
U(p)= ,
u holda,