Arifmetik ildiz. Ratsional ko‘rsatkichlar. Arifmetik ildizlarni shakl almashtirishlar

1. 
   Arifmetik ildiz. Ratsional ko‘rsatkichlar.
   
2. 
   Arifmetik ildizlarni shakl almashtirishlar.
   
3. 
   Irratsional ifodalarni soddalashtirish.
   

Arifmetik ildiz

• 
  Sonning - darajali arifmetik ildizi - - darajasiga teng bo‘lgan har qanday songa aytiladi, ya’ni bu yerda n ildizning darajasidir. 2-darajali arifmetik ildiz kvadrat ildiz deb aytiladi va bu ildizning darajasini ko‘rsatmasdan yozish mumkin: 3-darajali arifmetik ildiz ko‘b ildiz yoki uchunchi darajali ildiz deb nomlanadi. Boshqa darajalar nomlari uchun tegishli son ishlatiladi. Masalan, to‘rtinchi darajali ildiz, beshinchi darajali ildiz va hokazo.
  
• 
  Haqiqiy sonlar to‘plamida ildizda ikkitagacha javobi bo‘lishi mumkin. Manfiy sonning juft darajasi ildizini olish kerak bo‘lgan hollarda birorta ham javob mavjud bo‘lmaydi. Kompleks sonlar to‘plamida n – darajali ildizda n ta javob bo‘ladi. 0 ning ildizlari alohida sonlardan iborat emas, ya’ni barchasi 0 ga teng. Har qanday haqiqiy yoki kompleks sonning n-darajali barcha n ildizlari bo‘lsa individual sonlardan iborat.
  

Agar n juft bo‘lsa va ildiz belgisi haqiqiy va musbat bo‘lsa, uning n- darajali ildizlaridan biri musbat, biri manfiy va qolganlari komplek ammo haqiqiy emas bo‘ladi. Agar n juft bo’lsa va ildiz belgisi haqiqiy va manfiy bo’lsa, n-darajali ildizlarining birortasi ham haqiqiy bo‘lmaydi. Agar n toz bo’lsa va ildiz belgisi haqiqiy bo’lsa, bitta n–darajali ildiz haqiqiy bo’ladi va uning belgisi ildizning belgisi bilan bir hil bo‘ladi, qolgan ildizlar bo‘lsa haqiqiy bo‘lmaydi.

Ildizlarni yozishda ildiz belgisidanfoydalaniladi. Bu belgini kabi yozish mumkin. kvadrat ildizni ifodalaydi. kub ildizni ifodalaydi, to‘rtinchi darajali ildizni ifodalaydi va hokazo.

ifodasida n indeks ildiz belgisi va x ildiz ostidagi son deb yuritiladi. Ildiz ostidagi son funksiya kabi faqat bitta javobga ega bo‘lishi kerak, shuning uchun manfiy bo‘lmagan asosiy n- ildiz deb atalgan haqiqiy ildiz boshqalaridan ustun ko‘riladi. Javobi yo‘q ildiz odatda radikal deb nomlanadi.

Matematik analizda ildizlar darajaga ko‘tarishning maxsus holi deb qaraladi. Bu analizda daraja kasr deb qaraladi:

Ildizlar son qatorlarini o‘rganishda juda muhim rol o‘ynaydi. Ildiz testi orqali darajali qatorning mos tushish radiusi aniqlanadi. Kompleks sonlarning ham ildizini aniqlash mumkin. Birlikning ildizi yo’qori matematikada keng o‘rganiladi. Qaysi algebraik sonlarning ildizlari bilan ifodalash mumkinligini Galois nazariyasi yordamida aniqlash mumkin. Ildizlar yana Abel-Ruffini teoremasini isbotlash uchun kerak. Abel-Ruffini teoremasiga ko‘ra ko‘phadli beshinchi yoki undan yo’qori darajali tenglamalarni faqat ildizlardan foydalanib yechish mumkin emas.

Ildiz belgisining kelib chiqishi noma’lum. Ba’zi manbalarga ko‘ra, bu belgini birinchi marta arab matematiklari ishlatishgan. Bu matematiklardan biri Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasadi (1421-1486) bo‘lgan afsonaga ko‘ra bu belgi arabcha (jadhir-“ildiz”) so’zining birinchi harfi bo’lmish (jim) harfidan olingan. Ammo boshqa olimlar, masalan Leonhard Euler, ingliz belgisi lotincha “radix” (“ildiz”) so’zining birinchi harfi “r” harfidan kelib chiqqan deb hisoblashgan. Ildiz belgisi birinchi marta bosmada olmon matematigi Christoff Rudolffning “Die Coss” asarida 1525- yil ishlatilgan. Bu ildiz belgisi sonlar ustiga chiziladigan gorizontal chiziq bo‘lmagan inglizchada ishlatiladigan “surd” (irrasional son) atamasi Al Xorazmiyga borib taqaladi. U rasional sonlarni eshitsa bo‘ladigan, irratsional sonlarni bo‘lsa eshitsa bo‘lmaydigan deb atagan. Bu arab tilidagi irrasional son uchun ishlatilgan. (asamm-“kar” yoki “soqov”) so‘zining lotinchaga “surdus” (“kar” yoki “soqov”) deb tarjima qilinishiga olib kelgan. Gerard of Cremona (taxminan 1150), Fibonacci (1202) va keyin Robert Resorde (1551) barchasi yechilmaydigan irratsional ildizlarni “surdus” deb atagan.