Bir argumentning funksiyalari

4.2-misol. X zichlik funksiyasi f(x) bo‘lgan uzluksiz t.m. bo‘lsa, Y=-5X+2 t.m.ning zichlik funksiyasini toping.
funksiya intervalda monoton kamayuvchi. Teskari funksiyasi mavvud, . U holda (4.1.4) formulaga ko‘ra, .
4.2-misol yordamida taqsimot va zichlik funksiyalarning formulalarini tekshiramiz:






.
Demak, , u holda , ya’ni
.
Y=aX+b chiziqli almashtirish taqsimot xarakterini o‘zgartirmaydi: normal t.m.dan normal t.m.; tekis t.m.dan tekis t.m. hosil bo‘ladi.
4.3-misol. X t.m. intervalda tekis taqsimlangan. t.m.ning matematik kutilmasini a) zichlik funksiyani topib; b) zichlik funksiyani topmasdan hisoblang.

a) X t.m.ning zichlik funksiyasi bo‘ladi. intervalda funksiya monoton emas: intervalda o‘suvchi, intervalda esa kamayuvchi. Birinchi intervalda teskari funksiya, ikkinchi intervalda esa ga teng. U holda (4.1.5) formulaga asosan

Demak,

U holda



.
b) (4.1.6) formuladan foydalanamiz:


.

4.2 Ikki argumentning funksiyalari

• 
  Agar X va Y t.m.lar qabul qiladigan qiymatlarining har bir juftligiga biror qoidaga ko‘ra Z t.m. mos qo‘yilsa, u holda Z t.m. X va Y ikki tasodifiy argumentning funksiyasi deyiladi va kabi belgilanadi.
  

funksiyaning amaliyotda muhim ahamiyatga ega bo‘lgan xususiy holi t.m.ning taqsimotini topamiz.
ikki o‘lchovli uzluksiz t.m. f(X,Y) birgalikdagi zichlik funksiyaga ega bo‘lsin. (3.4.3) formuladan foydalanib, t.m.ning taqsimot funksiyasini topamiz:


, (4.2.1)

bu yerda (31-rasm).

31-rasm.

U holda . Hosil bo‘lgan tenglikni z o‘zgaruvchi bo‘yicha differensiallab, t.m. uchun zichlik funksiyaga ega bo‘lamiz:

. (4.2.2)

Agar X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lsa, tenglik o‘rinli bo‘ladi va (4.2.2) formula

(4.2.3)

ko‘rinishda bo‘ladi.

• 
  Bog‘liqsiz t.m.lar yig‘indisining taqsimoti shu t.m.lar taqsimotlarining kompozitsiyasi deyiladi. Z t.m.ning zichlik funksiyasi ko‘rinishda yoziladi, bu yerda * - kompozitsiya belgisi.
  

Xuddi shunday agar ko‘rinishda yozib olsak, uchun boshqa formulaga ega bo‘lamiz:


,
agar X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lsa, u holda


.


t.m.larning taqsimotlarini topish ham xuddi shunga o‘xshash amalga oshiriladi.