Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

Eslatma. Yuqoridagi aytilganlardan kelib chiqadiki agar normal sistemaning yechimlari sohasi K birorta ham uchga ega bo’lmasa bu soha bo’sh bo’ladi va (1) sistema yechimga ega emas.
1-misol.
Tengsizliklar sistemasi bilan aniqlanuvchi K sohaning barcha uchlarini toping.
,
qismiy sistemalarni yechamiz. Birinchisining yechimi
3x-3=0, y=1 x=-1-x=-2 (1;-2)
Ikkinchisiniki
3x-3=0, x=1 x-1-y=0, (0;-1)
Uchinchi sistemaning yechimi
-3y=0, y=0, x=2 (0;2)
Demak bu sistemalarning barchasi normal.Bu yechimlardan 2 va 3-lari berilgan uchala tengsizlikni ham qanoatlantiradi.
Shunday qilib K sohaning uchlari A₁(1;-2) va A₂(2,0) nuqtalar.Endi yana (1) – sistemaga qaytamiz. A₁,A₂,...,A_p lar K sohaning uchlari bo’lsin.1,A₂,...,A_p> lar
uning qavariq qobig’i bo’lsin.U holda 1,A₂,...,A_p> K bo’ladi va 1-lemmaga asosan
1,A₂,...,A_p>+K_o K.
Biz haqiqatda 1,A₂,...,A_p>+K_o K. ekanligini isbotlaymiz, ya’ni quyidagi teorema o’rinli.
Teorema. Agar tengsizliklar sistemasi normal bo’lsa, u holda
K=1,A₂,...,A_p> + K₀ (7)
bo’ladi. Bunda A₁,A₂,...,A_p lar K sohaning barcha uchlari.
Isboti. P nuqta K sohaning uchlaridan farqli ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin.A₁P to’g’ri chiziq qavariq K sohani yoki biror A₁A kesma bo’yicha kesadi, yoki A₁ nuqtadan chiquvchi nur bo’yicha kesadi (shaklga qarang). Ikkinchi holda 2-lemmaga ko’ra P-A₁ K₀ va demak P+A₁ K₀ .
Birinchi holda quyidagicha fikr yuritamiz. Agar A nuqta Kning biror A_iA_i chegaralangan qirrasida yotsa a shakl, u holda P nuqta A₁, A_i,A_j nuqtalarning chiziqli qobig’iga tegishli, agarda A nuqta chegaralanmagan A₁ nuqtadan chiquvchi qirraga tegishli bo’lsa, (c) shakl, u holda 1-lemmaga asosan A A_i+K bo’ladi. Bundan esa P 1,A_p>+K_o.
Demak barcha hollarda P 1,A₂,...,A_p>+K₀
K sohaning uchlarini topish bizga ma’lum shuning uchun ham K sohani to’la xarakterlash uchun K₀ sohaning ya’ni (2) bir jinsli normal sistemaning yechimlari sohasini topish bizga ma’lum shuning uchun ham K sohani to’la xarakterlash uchun K_o sohaning ya’ni (2) bir jinsli normal sistemaning yechimlari sohasini topish usulini aniqlash qoldi.
3⁰. Bir jinsli normal tengsizliklar sistemasi. (2) – tengsizliklar sistemasini qaraymiz. Ularning har biri chegara to’g’ri chiziqlari koordinatalar boshidan o’tuvchi yarim tekislikni aniqlaydi. Bu yarim tekisliklarning umumiy qismi K₀ dan iborat.
2 (sistema) normal bo’lgani uchun chegara to’g’ri chiziqlar orasida hech bo’lmasa 2 ta har xil mavjud bo’ladi. Demak K₀ soha faqat koordinatalar boshi (x=0, y=0) dan iborat yoki koordinatalar boshidan chiquvchi nur yoki uchi koordanatalar boshida bo’lgan (<180⁰) burchakdan iborat bo’ladi. Agarda biz bu burchakning turli tomonlarida yotuvchi ikki B₁ va B₂ nuqtalarni bilsak (30-shakl) bu burchakning barcha nuqtalarini
B=t₁B₁+t₂B₂ (8)
ko’rinishida ifodalash mumkin. Bu yerda t₁ 0, t₂ 0 – ixtiyoriy butun sonlar.

Agarda bu nuqtalarning har biri:
a) K₀ ga tegishli, ya’ni (2) – sistemani qanoatlantirishini;
b)K₀ chegarasida yotishini, ya’ni (3) – tenglamalardan birini qanoatlantirishini e’tiborga olsak B₁ va B₂ nuqtalarni aniqlash unchalik qiyin emas.
Agarda K₀ nur bo’lsa (8) ning o’rniga
B=tB₁ (9)
ga ega bo’lamiz. Bu yerda B₁ nurning boshlanish nuqtasidan farqli ixtiyoriy nuqtasi, t – ixtiyoriy son.
Endi misollar qaraymiz.
2-misol Ushbu:
(10)
bir jinsli chiziqli tengsizliklar sistemasining K₀ yechimlari sohasi va unga mos 1-misolda qaralgan bir jinsli bo’lmagan sistemaning yechimlari sohasining yechimlari sohasi K ni toping.