|
Egri chiziqni ta'riflash
Matematika tarixida egri chiziqlar va ba'zi hollarda egri chiziqlarni o‘ta aniqlikda ifodalagan tenglamalar funksiya tushunchasining paydo bo‘lishiga olib kelgan. Funksiya
tushunchasining o‘zi aniq ta'riflanganidan keyin esa, uning vositasida yangi turdagi egri chiziqlar yasala boshladi. Ya'ni, istalgan y=f(x) funksiyani koordinatalar sistemasida chizib ko‘rsatish mumkin. Uning grafigi esa, (x, f(x)) sonlar juftliklari orqali belgilanadigan nuqtalar majmuidan iborat bo‘ladi. Avvaliga hammasi matematiklar o‘ylaganidek edi. Biroq, vaqt o‘tishi bilan matematiklar qarshisida o‘zlari "anomal" deb nomlagan g‘alati egri chiziqlar paydo bo‘ldi va o‘shanda muammo kelib chiqdi.
Karl Veyershtrass shunday funksiyani aniqladiki, uning grafigi har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lib, bu egri chiziq qoidasiga to‘la mos kelardi. Lekin, ushbu nuqtalarning hech qaysi birida funksiyani differensiallab bo‘lmasdi. Soddaroq qilib tushuntirilganda, ushbu egri chiziqni qalamni uzmasdan chizsa bo‘lardi (chunki u uzluksiz edi); lekin, uning birorta nuqtasidan ham egri chiziqqa urinma o‘tkazishning iloji yo‘q edi. Shunday matematik obyektni egri chiziq deyish o‘rinlimi?
Peano egrilari
1878-yilda matematik olim Jordan egri chiziqni ikkita: x=f(t) va y=g(t) orqali uzluksiz funksiyalar orqali ifodalanadigan nuqtalar to‘plami tarzida ta'riflab berdi. Bunda t - muayyan intervalda qiymat qabul qiladigan parametr bo‘ladi. Egri chiziqni sodda egri chiziq deb atash uchun u hech qayerda o‘z-o‘zini kesib o‘tmasligi kerakligini ham aynan Jordan ta'kidlagan edi. Ushbu ta'rif judayam umumiy xarakter kasb etib, aniqlikdan biroz yiroq bo‘lganiga qaramay, u uzoq yillar mobaynida to‘g‘ri ta'rif deb qaraldi va keng qabul qilindi. Shunga qaramay, Jordanning ta'rifidan atiga 3 yil o‘tib, Peano ismli matematik, Jordan ta'rifini to‘liq qanoatlantiradigan, ya'ni, t parametr [0,1] intervalda qiymatlar qabul qiladigan egri chiziqli shaklni yasashga muvaffaq bo‘lgan. Peano egri chizig‘i shunday trayektoriya chizadiki, unda tekislikni to‘liq qoplagan kvadrat shakli namoyon bo‘ladi. Lekin, Jordan ta'rifidagi shartga ko‘ra, ushbu egri chiziq hech qaysi joyda o‘z-o‘zini kesib o‘tmaydi. Peano egri chizig‘i ham aynan shunday shakl hosil qiladi.
Oradan atiga bir yil o‘tib, yana bir buyuk matematik David Gilbert ham, Peano misoliga o‘xshash tarzdagi yana bir egri chiziqni yasaganini
Gilbert egrilari
ma'lum qildi. U kvadrat yuzasida uzluksiz kesmani ifodalaydigan egri chiziqni yasagan edi. Ushbu egri chiziqni ifodalash uchun, kvadratni to‘rtta teng bo‘lakka bo‘lish zarur. So‘ngra, hosil bo‘lgan kvadratlarning markazlarini uchta kesma yordamida tutashtirish kerak. Keyin esa, to‘rtala kvadratlarni o‘zini ham yana xuddi shu tarzda yanada kichikroq kvadratlarga ajratish va yuqoridagi harakatni yana takrorlash kerak. Shu tarzda bo‘laklarga bo‘lishni va kesmalar o‘tkazishni cheksiz davom ettirish mumkin. Bunday jarayon natijasida esa, kvadratni to‘liq qoplaydigan va qalamni uzmasdan chizsa bo‘ladigan egri chiziq hosil bo‘ladi. Shunisi qiziqki, bunday Gilbert egri chizig‘i, garchi o‘z qandaydir aniq yuzaga ega chek-chegarasi bor kvadratga joylashsa hamki, lekin egri chiziqning o‘zining uzunligining chegarasi bo‘lmaydi! Xuddi shu egri chiziqning yasab ko‘rsatilishidan keyin, Gilbertning hamkasbi Feliks Klyayn maqola muqaddimasida keltirilgan iqtibosdagi xitobini aytgan edi. Ya'ni u egri chiziq tushunchasini tushunishdan ham ko‘ra qiyinroq tushuncha yo‘q degan ma'noda gap qilgan edi.
Egri chiziqlarga hozirgi zamon uchun qabul qilingan nisbatan aniq ta'rifni esa, matematiklar ham, astronom yoki, mexaniklar ham emas, balki, topologiya sohasi mutaxassislari berishgan. Va buning hayron qoladigan joyi yo‘q. Chunki, egri chiziq - fazo bo‘ylab joylashgan nuqtalar to‘plami xolos; "nuqta" va "fazo" tushunchalari esa - topologiyada hech qanday qiyinchiliksiz ta'riflangan soddagina ta'riflangan boshlang‘ich mavhum tushunchalar hisoblanadi. Afsuski, topologiyadagi egri chiziq ta'rifi juda murakkab bo‘lib, boz ustiga, ko‘proq texnik ahamiyat kasb etadi. Shu sababli ham o‘sha ta'rifni bu o‘rinda keltirishni lozim topmadik.
Do'stlaringiz bilan baham: |
