Chiziqli operatorning xos son va xos vektorlari. Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning xos vektorlari bazis tashkil qilishining yetarli sharti

Birinchi xos qiymat topiladi
Xaraktrestik tenglama tuzamiz. Asosiy matritsa  va uning aniqlovchisini yozamiz, bunda asosiy diagonallardan “lambda”ni aniqlaymiz:

determinantni hisoblab, kvadrat tenglamani yechamiz:

Natijada, xos qiymatlar  ga teng bo’ladi.
Endi xos vektorlarni aniqlaymiz
Bu kabi misollarda turli xil xos sonlar olinadi va ularning har biri o’zlarining xos vektorlariga ega.

1. 
   Xos son ni ko’rib chiqamiz va tenglamalar sistemasiga qiymatni qo’yamiz:
   

Ushbu tenglamadan quyidagi kelib chiqadi: 

Demak, ifodaga “X” ning o’rniga qiymat berib, cheksiz kop xos vektorlar  ni olamiz. Ularning barchasi bir-biriga o’xshash bo’ladi va ulardan bittasini ko’rsatish kifoya. Vektorning « X » koordinatasi musbat, butun va minimal bo’lishi, “Y” esa kasr bo’lmasligi kerak. Bu qiymat mezonga mos keladi, bundan kelib chiqadi.
aniq yechim sistemaning har bir tenglamasini qanoatlantiradi:

Shunday qilib:  – birinchi xos vektor.
2) raqamga mos keladigan xos vektorni toping. Buning uchun ikkinchi sistema yoziladi:

Ikkala tenglamadan  kelib chiqadi.
qo’yilsa, keyin: hosil bo’ladi.
Natijada: – ikkinchi xos vektor.
Yechimning muhim tomonlari:
– hosil bo’lgan sistema  umumiy yechimga ega (tenglamalar chiziqli bog’liq);
– “Y”ni butun sonli qilib tanlash kerak, shunday qilib, birinchi “X” koordinatasi – butun, musbat va iloji boricha kichik bo’lishi kerak.

• 
  aniq yechim sistemaning har birini qanoatlantirishini tekshiring.
  

Javob: xos sonlar: , xos vektorlar: .
Oraliq “nazorat punktlari” yetarlicha, shuning uchun tenglikni
tekshirish shart emas.
Turli manbalarda, ko’pincha xos vektorlarning koordinatalari ustunlarda emas, satrlarda yoziladi, masalan:  .
Ta’rif: Agar biror noldan farqli vektor uchun tenglik bajarilsa, u holda son kvadrat matritsaning xos soni deyiladi. Bu tenglikni qanoatlantiradigan noldan farqli vektor A matritsaning xos soniga mos keladigan xos vektori deyiladi. 
Modomiki, har bir kvadrat matritsa ma’lum bir chiziqli o’zgartiruvchiga mos kelsa (ma’lum bir bazisda), va bundan kelib chiqib, chiziqli o’zgaruvchining xos qiymat va xos sonni aniqlanadi.
** * * * * * * * * *