Course name: course number: examination date

Part (a) – 4 points  

Green’s Theorem transforms the line integral in the following double integral  

 

(1)   

 

(2)    

 

---

STUDENT ID NUMBER:                                                                             SECTION No.: 

 

8 

 

(3)    

    

(4)    

     

(5)    

   

 

 

Part (b) – 4 points  

Where the region D for the double integral is defined as  

(1)   { (x, y)  D | 0 ≤ x ≤ 1,  x ≤ y ≤ A/6,  }  

(2)   { (x, y)  D | 0 ≤ x ≤ 1,  y ≤ x ≤ 1,  } 

(3)   { (x, y)  D | 0 ≤ y ≤ 1,  x ≤ y ≤ 1,  } 

(4)   { (x, y)  D | 0 ≤ x ≤ 1,  x ≤ y ≤ 1,  } 

(5)   { (x, y)  D | 0 ≤ y ≤ 1,  0 ≤ x ≤ y A/6,  } 

 

Part (c) – 4 points  

The symbolic solution of the double integral, in (a),  is  

(1)    tan

-1

x – (A/12 ) ln(1+x

2

)  

(2)    tan

-1

x – ( A/2 ) ln(1+x

2

)  

(3)    tan

-1

x – ( 1/A ) ln(1+y

2

)  

(4)    tan

-1

y – ( 1/2 ) ln(A+x

2

)  

 

Part (d) – 3 points  

And, the numeric solution is  

---

STUDENT ID NUMBER:                                                                             SECTION No.: 

 

9 

 

(1)    π / 4 – (ln 2)/2;        (2)    (π A / 12 – ln 2)/2;      (3)    π / 2 – (ln 2)/4;    

              (4)    π A / 12 – (ln 2);            (5)   (1)    π * 4 – (ln 2);  

 

    

   

 

 

Question 5 (

Surface Integrals from Vector Fields (one Flux Integral): Section 16.7

)

 – 20 points  

Likewise in the previous questions, you must use the value of the digit A which is 

determined in Question 1, Part (a). Find the volume of fluid defined by the velocity 

vector field 

F(x, y, z) = ( y i + x j + z k )*A/6. 

Volume, which goes across the surface S per unit of time from inside to outwards, 

(the usual convention for positive orientation for the  closed surface S), where the 

surface  S  is  the  boundary  of  the  solid  3-dimenssional  region  E  bounded  by  the 

paraboloid z = (A/2 – 3x

2

 – 3y

2

)/3 and the plane z = ( A/2 – 3 )/2020.  

 

Part (a) – 1 point  

In other words, you are asked to solve the following flux integral 

 

Is it (the above statement) True or False or it depends, it could be true in some cases 

and it could be false in others or none of the above because the answer in Part (a) is 

not  related  at  all  to  Question  5?  –  select/  choose  one  of  (1),  (2),  (3)  and  (4) 

corresponding  to  the  one  of  the  “or”  answers,  that  is,  (1)=true,  (2)=false,  (3)=it 

depends… (4)=none of the above…