Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

Маъруза 9

Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули.
Таянч иборалар
Хосилага нисбатан ечилмаган тенглама, ечим, умумий ечим, параметрик ечим, умумий интеграл, махсус ечим: параметр,

Хосилга нисбатан ечилмаган

(1)
дифференциал тенгламанинг интеграллашдаги асосий масала уни хосилага нисбатан ечишдан иборатдир. Агар x,y,p ни фазодаги декарт координаталари деб карасак (1) тенглама фазода бирор сиртни аниклайди.
Маълумки, фазодаги сирт нукталарини иккита узгарувчиларини функцияси шаклида ифодалаш мумкин:
(2)

1. 
   ва (2) тенгламалар узаро эквивалентдир.
   

Маълумки

Бунга кийматларни (2) дан келтириб куйисак

Агар бунда u ни аргумент учун, ни функия учун кабул килсак, бу тенгламани куйидагича ёзиш мумкин.

Бу эса хосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли дифференциал тенгламадир. Фараз этайлик бу тенгламанинг умумий ечими
булсин.
У холда (2) га асосан (1) тенгламанинг умумий ечими
булади.

1. 
   тенгламани ечишда куйидаги холлар булиши мумкин.
   

1 хол. (1) тенгламани у га нисбатан ечиш осонрок булсин.
(4)
Бу тенгламани хар иккала томони х га нисбатан дифференциал-лаймиз.
(5)
Бу тенглама, р ва х га нисбатан биринчи тартибли дифференциал тенгламадир.
Агар бу тенгламанинг умумий ечими булса, у холда

4. 
   тенгламанинг умумий ечими булади.
   

Мисол.

Агар булса хам тенгламанинг ечими булади.
2 хол. (1) тенгламани х га нисбатан ечиш осонрок булсин:
(5)
хар иккала томонидан у га нисбатан хосиласини оламиз.

Бу р ва у га нисбатан биринчи тартибли дифференциал тенгламадир.
Агар бу тенгламанинг умумий ечими булса,
(5) тенгламанинг умумий интеграли булади.
Мисол

(1)
тенглама ечимининг мавжудлик ва ягоналик теоремаси
1) функцияси нуктанинг ёпик атрофида узининг барча хусусий хосилалари билан бирга аникланган ва узлуксиз дифференциалланувчи булсин.
2) Бу нуктада

3. 
   
   

У холда (1) тенглама нукта атрофида аникланган ва узлуксиз дифференциалланувчи ягона ечимга эга булиб, бу ечим бошлангич шартни хамда шартни каноатлантиради.