Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

Лагранж тенгламаси

1813. 
      француз)
      

Дифференциаллаш методи билан квадратурага келтираладиган хосилага нисбатан ечилмаган тенгламалардан бири Лагранж тенгламаси булиб, унинг умумий куриниши
(1)
булади. Бунда курилаётган сохада узлуксиз функциялар булиб унда (1) тенгламадан куринадиким. Лагранж тенгламаси х ва у ларга нисбатан чизикли дифференциал тенгламадир (1) нинг хар иккала томони га булсак,
(2)
тенгламага эга буламиз.
Бунда

2. 
   Лагранж тенгламасининг каноник (содда) куринишидир.
   

(2) тенгламани ечиш учун дифференциаллаш усулидан фойдаланамиз
(3)
булмасин.

3. 
   тенгламада х ни функция р-ни аргумент деб кабул этсак, тенгламани
   

Бу эса биринчи тартибли чизикли дифференциал тенгламадир.
Маълумки унинг умумий ечими

дан иборат.
Бу топилган кийматни (2) га олиб бориб куйисак Лагранж тенгламасининг параметрга боглик булган умумий ечимига эга буламиз.

Фараз этайлик булсин.
Бу тенгламанинг ечимларидан бири булсин яъни

у холда (2) дан га эга буламиз
Бу хам Лагранж тенгламасининг ечимидир. Бу ечим тенгламанинг махсус ечими булиши мумкин.
Мисол.

Клеро тенгламаси

1765. 
      француз)
      

Лагранж тенгламасининг хусусий холи Клеро тенгламасидир Лагранж тенгламасида булса
(1)
Бу Клеро тенгламасининг каноник куринишидир Клеро тенгламасининг хам дифференциаллаш усулидан фойдаланиб ечамиз.

Бундан ва буни (1) тенгламага куйсак Клеро тенгламасининг умумий ечимига эга буламиз.
Бундан куринадиким Клеро тенгламасининг умумий ечими, ихтиёрий узгармасга (параметр) боглик булган тугри чизиклар оиласидан иборатдир.
Энди ни p га нисбатан ечиш мумкин булсин.

У холда (1) дан (2)
га эга буламиз. Бу хам Клеро тенгламасининг ечими булиб, у махсус ечим булиши мумкин.
Клеро тенгламасининг умумий ечимини
(3)
параметр куринишда хам ёзиш мумкин. (2) ечимни умумий ечимдан фарки шундаки унда биринчидан узгармас сон катнашмайди. Иккинчидан ихтиёрий узгармас соннинг хечкандац киматида уни хосил килиб булмайди. (2) ечимга Клеро тенгламасининг маххсус ечими дейилади.
Маълумки махсус ечим
(4)
тенгламалардан ихтиёрий узгармас с ни йукотиш натижасида хосил булади. (4) нинг иккинчиси, биринчисининг параметр с га нисбатан дифференциаллашдан хосил булган.
Дифференциал геометриядан маълумки бундай амаллар ёрдамида хосил булган чизик, битта параметрга боглик булган

тугри чизиклар оиласининг урамасидан иборатдир.
Демак геометрик нуктаи назаридан Клеро тенгламасининг махсус ечими, унинг умумий ечимини ифодаловчи тугри чизиклар оиласини урамасидан иборатдир
Мисол
Тенгламанинг умумий ечими.

Бу махсус ечимдир.






Саволлар

1. 
   Хосилага нисбатан ечилмаган тенглама ечимини мавжудлик ва ягоналик теоремасини айтинг?
   
2. 
   Параметр киритишдан максад нима?
   
3. 
   Лагранж тенгламаси, кандай ечилади?
   
4. 
   Клеро тенгламасининг умумий ечими ва махсус ечими кандай топилади?