Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

МАЪРУЗА 12 ,13
Квадратурага келтириладиган баъзи бир юкори тартибли дифференциал тенгламалар
Таянч иборалар:
Юкори тартибли дифференциал тенгламалар, квадратурага ажратишга келтирадиган баъзе бир дифференциал тенгламалар, умумий ва хусусий холлар.
(1)
n->1 нчи тартибли дифференциал тенглама берилган булсин.

1. 
   тенгламани интеграллашдаги асосий типларни караймиз.
   

1 тип.
(2)
фараз этайлик (2) тенгламани га нисбатан ечиш мумкин булсин.
Яъни (3)
Бу тенгламанинг умумий ечимини топиш учун уни n марта
кетма- кет интеграллаймиз.
Маълумки
Интегралласак

Худди шундай давом эттирсак
(4)
Бу (3) тенгламанинг умумий ечимдир.(4) формулани келтириб чикаришда билинадирким булганда

бошлангич шартларни каноатлантирувчи Коши масаласидир.
Демак (4) нинг унг томонидаги биринчи хад
(5)
(3) тенгламанинг хусусий ечимидир. (5) интегрални, параметрга боглик булган битта интеграл билан алмаштириш мумкин.
(6)
Бунга асосан (3) тенгламанинг умумий ечимини
(7)
куринишда ёзиш мумкин.
Агар (2) тенгламани га нисбатан ечиш кийин булса, лекин уни унга эквивалент булган параметр куринишда ёзиш мумкин булса
яъни (8)
У холда тенгламанинг умумий ечими куйидагича топилади.


га эга буламиз.
тенгламанинг параметр куринишдаги умумий ечимидир.
Мисол 1. 3 марта кетма-кет

Мисол 2. деб олсак

2 тип.
(1)
тенглама натурал n нинг хар кандай кийматида квадратланади.
Бунинг учун (2)
алмаштиришини оламиз.
У холда (3)
га эга буламиз. (3) тенгламани га нисбатан ечиш мумкин булсин ;

бу эса узгарувчилари ажраладиган дифференциал тенгламадир
бундан
(4)
Агар (4) ни z га нисбатан ечиб ,топилган z кийматини (2)
куйсак , биринчи типдаги дифференциал тенгламага эга буламиз

буни n-1 марта кетма-кет интеграллаб берилган тенгламанинг
умумий ечими га эга буламиз.
Мисол

Фараз этамиз (1) тенгламани параметр
куринишда ёзиш мумкин булсин.
Бу холда
Бундан



3 тип
(1)
бундай куринишдаги дифференциал тенгламалар хам квадратурага келтирилади.
Бунинг учун (2)
десак булади.
ва (3)
тенгламага эга буламиз (3) тенгламани га нисбатан ечиш мумкин булсин:
Бунинг хар иккала томонини купайтирамиз:

Агар бу кейинги тенгликни z га нисбатан еча олсак, яъни

у холда (1) тенгламанинг ечимини топиш 1-нчи типдаги дифференциал тенгламанинг ечишга келтирилади.

Буни n-2 марта кетма-кет интеграллаб унинг умумий ечими.

ни топамиз.
Мисол 423.

1. 
   тенгламани
   

(4)
параметрик куринишга келтириш мумкин булсин.
Маълумки (5)

4. 
   ни биринчисини хар иккала томонини га купайтирсак.
   

Ёки (6)
га эга буламиз.

4. 
   билан (4) нинг иккинчиси биргаликда 2 нчи типдаги дифференциал тенгламани ташкил этади.