Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

1.Turli gruppadan bittadan tanlab olishlar kombinatsiyasi. r ta turli gruppa mavjud bo’lsin. Brinchi gruppa ta elementdan, ikkinchi gruppa ta elementdan va hokazo, r-gruppa ta elementdan tuzilgan bo’lsin. Har bir gruppadan faqat bittadan element olib, nechta r elementli gruppa tuzish mumkin?
Shunday usulda tuzish mumkin bo’lgan barcha gruppalar soni
(8)
dan iborat bo’ladi.
Isbot. Bu faktni isbotlash uchun matematik induksiya metodini qo’llaymiz. Buning uchun (8) ning da to’g’riligini isbotlaymiz. To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida o’qqa birinchi gruppa elementlarini, o’qqa ikkinchi gruppa elementlarini joylashtiramiz (7-chizma)


7-chizma(birinchi va ikkinchi gruppa elementlarining
koordinatalar sistemasida tasvirlanishi)
_{U holda barcha} ko’rinishdagi gruppalar soni ga teng bo’ladi. Endi formulani r-1 uchun to’g’ri deb faraz qilib, uning r uchun tog’riligini ko’rsatamiz. r-1 bo’lgan holda ko’rinishdagi gruppalar soni _{ga teng.}
2. Qaytariladigan tenglashlar soni. Faraz qilaylik, n ta elementga ega bo’lgan gruppa berilgan bo’lsin. Bu gruppadan bittalab element olib uni fiksirlagach, o’rniga qaytarib qo’yamiz va bu protsesni yana takrorlaymiz. Bu usuldan r marta foydalanib, r elementli gruppani hosil qilamiz. Bu usulda tanlab olishlar soni  ga teng. Bu formulaning isboti (8) dan bevosita kelib chiqadi, buning uchun r ta bir xil elementlarga ega bo’lgan  gruppani qarash kifoya.
3. O’rinlashtirishlar soni (qaytarilmaydigan tanlashlar soni). Kombinatorika o’rinlashtirish deyilganda tartiblangan joylashtirishni tushuniladi. Agar r ta turli element n ta yacheykaga ko’pi bilan bittadan joylashtirilgan bo’lsa, u holda (8) formulaga ko’ra barcha o’rinlashtirishlar soni
(9)
ga tengdir. Agar r=n bo’lsa, o’rinlashtirishlar soni o’rin almashtirishlar soniga teng bo’ladi:
(10)