Элементы теории поля

Пример 4. Найти векторное поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси Оz.
Решение. Скорость точки равна векторному произведению − радиус-вектор точки вращающегося тела относительно какой-либо точки оси вращения. Примем эту неподвижную точку за начало координат.
Тогда

Геометрической характеристикой векторных полей являются векторные линии (линии тока), позволяющие наглядно представить векторные поля.

Векторные линии − кривые, в каждой точке которых вектор является касательным вектором. Для конкретных полей это понятие имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока), для магнитного поля векторными линиями будут силовые линии, проходящие из северного полюса в южный. Через каждую точку проходит одна линия тока. В декартовых координатах дифференциальные уравнения векторных линий имеют вид:


. (13)


Пример 5. Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной скоростью вокруг оси Оz.
Данное поле определено вектором (см. предыдущий пример). По формуле (13) имеем:


, отсюда

Интегрируя, получим:

Векторными линиями поля скоростей точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz, являются окружности с центрами на этой оси. Они лежат в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения.

Поток векторного поля

Пусть задано векторное поле формулой (12). Для наглядности будем считать его полем скоростей потока жидкости. Рассмотрим ориентированную поверхность S с нормалью , находящуюся в потоке и пропускающую жидкость. Выясним, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Разобьем поверхность S на элементарные площадки , выберем на каждой точку − нормаль к площадке в этой точке. Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор − постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму


.

Точное значение получим предельным переходом суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их диаметров:

.

Независимо от физического смысла вектора полученный интеграл называется потоком векторного поля.