Funksiya limiti va unga bog’liq asosiy tushunchalar Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

2. Funksiya limitining tariflari. X = {x} haqiqiy sonlar to’plami berilgan bo’lib, a nuqta uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda f(x) funksiya aniqlangan deylik. Modomiki, a nuqta X ning limit nuqtasi ekan, X to’plamning nuqtalaridan a ga intiluvchi turli { } ( a, n=1, 2, 3, ... ) ketma ketliklar tuzish mumkin: lim =a. Ravshanki X (n=1, 2, 3, ....). Shuning uchun bu nuqtalarda ham f(x) funksiya aniqlangan. Natijada ketma-ketlik bilan birga {f( )}:
f( ), f( ), ..... , f( ),
sonlar ketma-ketligiga ega bo’lamiz.
4-tarif. Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan a ga intiluvchi har qanday { }, ( a, n=1, 2, 3, .. ) ketma-ketlik olganimizda ham mos {f( )} ketma-ketlik hamma vaqt yagona b (chekli yoki cheksiz ) limitga intilsa, shu b ga f(x) funksiyaning a nuqtadagi limiti deb ataladi. Funksiya limiti =b kabi belgilanadi. Funksiya limitiga berilgan bu tarif Geyne tarifi deb ataladi. Bazan b ni f(x) ning x a dagi limiti deyiladi va
x a da f(x) b kabi belgilanadi.
Keltirilgan tarifning ushbu muhim tomoniga o’quvchining etiborini jalb etaylik: a ga intiluvchi har qanday { }( a, n=1, 2, 3, .. ) ketma-ketlik uchun x a da {f( )} ketma-ketlikning limiti olingan { } ketma-ketlik bog’liq bo’lmasligi kerak.
Misollar. 1. Ushbu f(x)=
funksiyaning x 0 dagi limiti 1 ga teng ekanini ko’rsating.
Har bir hadi noldan farqli bo’lgan va nolga intiluvchi ixtiyoriy { ketma-ketlik olaylik: lim ( 0, n=1, 2, 3, .. ).
U holda ushbu {f( )} = { }
Ketma-ketlikni hosil qilamiz. Ravshanki, x=0 da
limf( ) = lim = 1
Demak, tarifga ko’ra = = 1
2. Quyidagi
f(x) = (x )
funksiyaning x 0 dagi limiti mavjud emas. Haqiqatan, nolga intiluvchi ikkita turli { }={ }, { }= } ketma-ketlikni olaylik. Bunda
f( ) = = -1, f( ) = = 1
bo’lib limf( )=-1 , limf( ) =1.
Bu esa funksiyaning x da limiti mavjud emasligini ko’rsatadi. Endi funksiya limiti ta’rifidagi X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, a ga intiluvchi { } ketma-ketliklarning har bir hadi (n = 1, 2, 3, ...)ni a ga teng bo’lmasin, deb aytilgan shartga izoh beramiz. Agar ta’rifdagi bu shart olib tashlansa, u holda limitga ega bo’lgan funksiyalar sinfi bir muncha torayadi. Xususan biz yuqorida keltirilgan 1-misoldagi funksiya ham limitga ega bo’lmay qoladi. Haqiqatan, nolga intiluvchi ketma-ketlik sifatida
{ }: 0, 0, 0, ..... ,0
ketma-ketlik olinsa, f(x) ning qiymatlaridan tashkil topgan mos [f( )} ketma-ketlikning limiti nolga teng bo’lib, natijada
( , n = 1, 2, ...) da f( ) 1
, ( = 0, n = 1, 2, ...) da f( ) munosabatlarga ega bo’lamiz. Bu esa x da f(x) funksiya limitga ega emasligini bildiradi.
Funksiya limitini boshqacha ham tariflash mumkin.
5-tarif. Agar son uchun shunday son topiladiki, argument x ning 0 < |x-a| < tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)| (f(x)> , f(x)<- ) bo’lsa f(x) funksiyaning a nuqtadagi limiti (+ ;- ) deyiladi. Funksiyani limitiga berilgan bu ta’rif Koshi ta’rifi deb ataladi.
Misollar. 1. Ushbu f(x)= funksiyaning x dagi limiti bo’lishini isbot eting.
son olaylik. Bu ga ko’ra ni = deb olsak, u holda 0 < |x-5| < bo’lganda
| - |= | | =
tengsizlik bajariladi. Bundan ta’rifga ko’ra
= = kelib chiqadi.
2. Ushbu f(x)= funksiya uchun x 1 da f(x) bo’lishini ko’rsating.
son uchun = deb olinsa, u holda 0 < |x-1| < tengsizlikning bajarilishidan |f(x)|= | tengsizlik kelib chiqadi. Demak, = .
Funksiya limiti ta’rifidagi 0 < |x-a| < tengsizlik a- < x < a+ , x tengsizliklarga ekvivalent bo’lib funksiya argumentining bu tengsizliklarni qanoatlantirishi ularning a nuqtaning (a) atrofiga tegishli bo’lishini ifodalaydi.
Bunda (a) = {x: x , a- < x < a+ ; x }.
Shunga o’xshash |f(x) – b|< tengsizlikning bajarilishi x (a) da f(x) funksiyaning qiymatlari b nuqtaning atrofida bo’lishini bildiradi.
Shunday qilib, funksiya limitining ikki xil – Geyne hamda Koshi ta’riflari keltirildi. Endi bu ta’riflarning ekvivalentligini ko’rsatamiz.

1. 
   f(a) funksiya x = a nuqtada Koshi ta’rifiga ko’ra limitga ega bo’lsin, ya’ni
   

son uchun shunday son topiladiki, 0 < |x-a| < tengsizlik bajarilganda |f(x) – b|< tengsizlik ham o’rinli bo’ladi. X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, har bir hadi a dan farqli bo’lgan va a ga intiluvchi ixtiyoriy { } ketma ketlik olaylik:
lim = a ( a, n = 1, 2, 3, .. ).
Sonlar ketma ketligi limitining ta’rifiga ko’ra, yuqoridagi uchun shunday N son topiladiki, barcha n > lar uchun | tengsizlik o’rinli bo’ladi. Natijada a, n = 1, 2, 3, .. munosabatga kura 0 < | tengsizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlikning o’rinli bo’lishidan
|f( ) – b|<
Tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi
b) f(x) funksiya x = a nuqtada Geyne ta’rifiga ko’ra limitga ega bo’lsin, ya’ni X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, a ga intiluvchi har qanday { } ( a, n = 1,2,..) ketma ketlik olganimizda ham mos {f( )} ketma-ketlik hamma vaqt yagona b limitga intilsin.
Biz b soni f(x) funksiyaning x = a nuqtada Koshi ta’rifiga ko’ra ham limiti bo’lishini ko’rsatishimiz kerak.
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni f(x) funksiya x = a nuqtada Geyne ta’rifiga ko’ra b limitga ega bo’lsa ham funfksiya shu nuqtada Koshi ta’rifiga asosan b limitga ega bo’lmasin. Unda biror son uchun ixtiyoriy kichik musbat son olinganda ham argument x ning 0<| tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror qiymatida
|f( )-b| bo’ladi.
Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi { } ni olaylik. U holda yuqoridagiga ko’ra har bir > 0 (n = 1, 2, 3, .. ) uchun argument x ning 0 < | tengsizliklarni qanoatlantiruvchi shunday x= (n = 1, 2, 3, .. ) qiymati topiladiki 0<| -a|< va |f( )-b| bo’ladi. Ammo 0 dan . Bu holda Geyne ta’rifiga asosan f( ) bo’lishi lozim. Yuqoridagi munosabat esa bunga ziddir. Demak, f(x) funksiya x = a nuqtada Geyne ta’rifiga ko’ra b limitga ega bo’lishidan uning shu nuqtada Koshi ta’rifiga ko’ra ham b limitga ega bo’lishi kelib chiqadi.
3. Funksiyaning bir tomonli limitlari. X biror haqiqiy sonlar to’plami bo’lib, a uning o’ng (chap) limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda y = f (x) funksiya aniqlangan deylik.
6-tarif. (Geyne). Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va har bir hadi a dan katta (kichik) bo’lib a ga intiluvchi har qanday { } ketma ketlik olganimizda ham mos {f( ketma ketlik hamma vaqt yagona b ga intilsa, shu b ni f(x) funksiyaning a nuqtadagi o’ng (chap) limiti deb ataladi.
7-tarif.(Koshi). Agar son uchun shunday son topilsaki, argument x ning a < x < a + (a- < x < a) tengsizliklarni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)-b|< tengsizlik bajarilsa, b son f(x) funksiyaning a nuqtadagi o’ng (chap) limiti deb ataladi.
Funksiyaning o’ng (chap) limiti quyidagicha belgilanadi: = b yoki f(a+0)=b( = b yoki f(a-0)=b) Agar a=0 bo’lsa x 0+0 (x 0-0) o’rniga x +0 (x -0) deb yoziladi.
Funksiyaning o’ng va chap limitlari uning bir tomonli limitlari deyiladi.
Misol. Ushbu
f(x) = (x )
funksiyani qaraylik. Har biri nolga intiluvchi ikkita
{ }: 0 ( > 0, n = 1, 2, 3, ..... ,)
{ }: 0 ( < 0, n = 1, 2, 3, .....,) ketma-ketlikni olaylik. Bu ketma-ketlik uchun
f( )= = 1 , f( )= = -1 -1
bo’ladi. Demak,
= =1, = =-1.
Funksiyaning biror nuqtada bir tomonli limitlari mavjud bo’lishidan uning shu nuqtada limitga ega bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi. Biroq quyidagi sodda teorema o’rinlidir. a nuqta bir vaqtning o’zida X to’plam uchun o’ng va chap limit nuqta bo’lib, bu to’plamda y = f(x) funksiya aniqlangan bo’lsin.