Funksiya limiti va unga bog’liq asosiy tushunchalar Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

Koshi teoremasi
Endi funksiya limitining mavjudligi haqidagi umumiy teoremani keltiramiz. X to’plam berilgan bo’lib, a uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’pmlamda f(x) funksiya berilgan.
16-tarif. Agar son uchun shunday > 0 son topilsaki, argument x ning 0 < - a < , 0 < - a < tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va ( X, X) qiymatlarida
f( ) - <
tengsizlik o’rinli bo’lsa, f(x) funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajarildi deyiladi.
Misol. Ushbu f(x) = funksiya uchun x = 0 nuqtada Koshi shartining bajarilishini ko’rsating. Haqiqatan, son olib, ni deb qaralsa, u holda x ning
0 < - 0 = < , 0 < - 0 = < tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy qiymatlari uchun quyidagiga ega bo’lamiz: f( ) - = - + < .
Bu berilgan funksiya uchun x = 0 Koshi sharti bajarilishini ko’rsatadi. f(x) funksiya uchun a nuqtada Koshi shartining bajarilmasligini anglatadi:
> 0 son olganimizda ham shunday va 0 < - a < , 0 < - a < tengsizliklarni qanoatlantiruvchi , ( X, X) qiymatlar topiladiki,
f( ) - bo’ladi.
Misol. Quyidagi
f(x) = funksiya uchun quyidagi x = 0 nuqta Koshi sharti bajarilmaydi. Haqiqatan, > 0 olganimizda ham = 1 va
= , = nuqtalar uchun k > [ ] bo’lganda < < bo’lishi ravshan,
f( ) - = = 2 bo’ladi.
6 – teorema.(Koshi). f(x) funksiya a nuqtada chekli limitga ega bo’lishi uchun bu funksiya uchun a nuqtada Koshi shartining bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot.Zarurligi. x a da f(x) funksiya chekli limitga ega bo’lib, = b bo’lsin Funksiya limiti ta’rifiga ko’ra > 0 son olinganda ham ga asosan shunday > 0 son topiladiki, argument x ning 0 < < tengsizlikarni qanoatlantiruvchi qiymatlarida
f(x) - b < tengsizlik o’rinli bo’ladi. Xususan , ushbu
0 < - a < f( ) – b <
0 < - a < f( ) – b < munosabatlar o’rinli. Bundan
f( ) - f( ) – b + f( ) – b < tengsizliklarning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x) funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajarilishini ko’rsatadi.
Yetarliligi. f(x) funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajarilsin, ya’ni son olinganda shunday son topiladiki, x ning 0 < - a < , 0 < - a < tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy qiymatlarida f( ) - < tegsizlik o’rinli. Bu holda f(x) funksiya x a da chekli limitga ega bo’lishini ko’rsatamiz. a nuqta X to’plamning limit nuqtasi. Shuning uchun X to’plamning nuqtalaridan { ketma-ketlik tuzish mumkin, lim = a bo’ladi. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga ko’ra, yuqorida olingan > 0 son uchun shunday N son topiladiki, barcha n > lar uchun 0 < - a < va 0 < - a < va 0 < - a < ( m = 1, 2, ..) tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bu tengsizliklarning bajarilishidan esa, shartga ko’ra
f( ) - < bo’ladi. Demak, {f( – fundamental ketma-ketlik. U yaqinlashuvchi. Biz {f( ketma-ketlikni limitini b bilan belgilaylik, yani = b. Endi X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va a ga intiluvchi ixtiyoriy { } ketma-ketlik a , a (n = 1, 2, .. ), olinganda ham f(x) funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos {f( ketma-ketlik ham o’sha b ga intilishini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, a , ( a, n = 1, 2, .. ) da f( bo’lsin. va ketma-ketliklar hadlaridan ushbu
, , , , ..., , ketma-ketlikni tuzaylik. Ravshanki, bu ketma-ketlik a ga intiladi. U holda
f( ), f( ), f( ), f( ), ..., f( ), f( ), (1.11) ketma-ketlik fundamental bo’lib, chekli limitga ega. Bu limitni bilan belgilaylik. Agar {f( )} va {f( )} ketma-ketliklarning har biri (1.11) ketma-ketlikning qismiy ketma-ketliklari ekanini etiborga olsak, u holda f( ) , f( ) bo’lishini topamiz. Demak ,
= b =
Shunday qilib, f(x) funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajarilishidan x to’plam nuqtalarida tuzilgan va a ga intiluvchi har qanday a, n = 1, 2,..) ketma-ketlik olinganda ham mos ketma-ketlik bitta songa intilishini topdik. Bu esa funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko’ra f(x) funksiya a nuqtada chekli limitga ega bo’lishini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi. 4-eslatma. Koshi sharti va Koshi teoremasi x a + 0, x a - 0; x , x + , x - bo’lgan hollarda ham yuqoridagiga o’xshash ifodalanadi va isbot etiladi.