Funksiya limiti va unga bog’liq asosiy tushunchalar Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

1-teorema. f(x) funksiya a nuqtada b limitga ega bo’lishi uchun uning shu nuqtada o’ng va chap limitlari mavjud bo’lib,
f(a+0) = f(a-0) = b
tenglik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Bu teoremaning isboti yuqoridagi ta’riflardan osongina kelib chiqadi. Endi x 0 da funksiya limiti tushunchasini keltiramiz. X to’plam berilgan bo’lib uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda y=f(x) funksiya aniqlangan deylik.
9-ta’rif.(Geyne). Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan har qanday cheksiz katta (musbat cheksiz katta; manfiy cheksiz katta) { } ketma ketli olganimizda ham mos {f( )} ketma-ketlik hamma vaqt yagona b ga intilsa, shu b soni f(x) funksiyaning x 0 (x 0, x 0) dagi limiti deb ataladi.
10-ta’rif.(Koshi). Agar son uchun shunday son topilsaki, argument x ning |x|> ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)-b|< tengsizlik bajarilsa, b son f(x) funksiyaning x 0 (x 0; x 0) dagi limiti deb ataladi. Funksiya limiti
=b ( =b; =b)
kabi belgilanadi.
Ushbu paragrifning oxirida funksiya limitining umumiy ta’rifini keltiramiz. X biror to’plam bo’lsin. Bu to’plamda y=f(x) funksiya aniqlangan.
11-tarif. Agar b (chekli yoki cheksiz) ning har qanday U(b) atrofida olinganda ham a ning shunday U(a) atrofi mavjud bo’lsaki, U(a) uchun f(x) U(b) bo’lsa, b soni f(x) funksiyaning x a dagi limiti deb ataladi.

Misollar. 1. Ushbu

= 1 (1.6)
tenglini isbotlang.
Avvalo 0 < x < intervaldan olingan barcha x lar uchun
< x <
tengsizliklar o’rinli. Bu maktab matematikasidan ma’lum. > 0 bo’lgani uchun bu tegsizliklarni
1 <
ko’rinishda yozilishi mumkin. Undan
0 < 1 - < 1- (1.7) tengsizlik kelib chiqadi.
Biz (1.7) tengsizliklarni ixtiyoriy x (0 , ) uchun isbot qilaylik. (x ) va funksiyalarning juftligidan bu tengsizliklarning barcha x )\{0} uchun to’g’riligini topamiz. Shu bilan birga 0< x < da 1- = 2 2 =|x| tengsizlikning o’rinli bo’lishini e’tiborga olsak, yuqoridagi (1.7) tensizliklar quyidagi 0 < |1 - | < |x| ko’rinishga kelishini topamiz.
Agar >0 son berilganda ham > 0 deb va sonlarining kichigi olinsa, argument x ning 0 < |x| < tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
|1 - |= | -1| < tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu esa funksiya limitining Koshi ta’rifiga ko’ra (1.6) limitning to’g’riligini anglatadi.
2. Quyidagi
(1.8)
tenglikni isbotlang (bunda e = 2.71...).
Buning uchun + ga intiluvchi ixtiyoriy { } ketma-ketlikni olaylik. Bu holda barcha k = 1, 2, 3, ... lar uchun >1 deb qarash mumkin. Har bir ning butun qismini orqali belgilab, ushbu [ ] = (k = 1, 2, .... ) + ga intiluvchi , ... natural sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz.
Ma’lumki,
= e.
Bu munosabatdan
= e
ekanligi kelib chiqadi.
Endi ushbu
[ ] = < +1 < 1 + < 1+ munosabatlar o’rinli bo’lishini e’tiborga olib, topamiz:
(1 + < (1 + < (1 + (1.9) Biroq
= = e,
= = e limitlar o’rinli bo’lgani uchun (1.9) tengsizliklarda (bunda + ) limitga o’tsak, izlangan (1.8) limit hosil bo’ladi. Endi - ga intiluvchi ixtiyoriy { } ketma-ketlikni olaylik. Bunda < -1 (k = 1, 2, .. ) deb qarash mumkin. Agar = - deb belgilasak, unda va > 1 (k = 1, 2, ..) bo’ladi. Ravshanki,
(1 + = (1 - = ( = (1 + Undan
= = e. Shunday qilib, ga intiluvchi har qanday { } ketma-ketlik olganda ham f(x)=(1 + funksiya qiymatlaridan tuzilgan
{f( )} = {(1 + } ketma-ketlik hamma vaqt e limitga ega ekani isbotlandi. Funksiya limitning Geyne ta’rifiga ko’ra
= e
limit ham o’rinli bo’ladi.