"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 4. Построить АВС по углам А и В и разности сторон а-b.
Рис.17
Анализ. Пусть АВС построен (рис.17). В нем С=180- (А+В), АDС - равнобедренный с углом при основании х. Необходимо вычислить АDВ для построения АDВ по стороне и двум углам. АDВ=х+с=х+180- (А+В), но в АСD:
х= (180-с) = (180-180+ (А+В)) = (А+В), следовательно АDВ= (А+В) +180- (А+В) =180- .
Таким образом, имеем возможность построить АDВ по стороне а-b и прилежащим двум углам: В и АDВ.
Для получения вершины С есть несколько возможностей. Например, под углом А построить луч до пересечения с продолжением стороны а-b; или восстановить серединный перпендикуляр QC  AD до пересечения с продолжением стороны а-b.
Задача 5. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой d. Постройте на ней такую точку Х, чтобы биссектриса угла АХВ лежала на прямой d.
Решение.
1. Анализ. Предположим, что точка Х найдена (рис.23). Тогда АХЕ=ЕХВ. А это значит, что лучи АХ и ВХ симметричны относительно луча ХЕ. Проведем перпендикуляры к прямой d из точек А и В. они пересекут лучи угла АХВ в точках А и В соответственно. Причем точки А и А , В и В симметричны друг другу относительно прямой d.
2. Построение. Строим точку А , симметричную точке А относительно прямой d. Строим точку В , симметричную точке В относительно прямой d.

Рис. 32
Точки А и В (А , В) оказались в одной полуплоскости, а прямые В А и ВА пересекаются в искомой точке Х.
Рис.18

3. Доказательство. Углы АХЕ и ВХЕ равны по построению, следовательно, ХЕ - биссектриса, но луч ХЕ принадлежит прямой d. Значит, точка Х искомая.

4. Исследование. Если точка А не совпадает с точкой В, то возможно только одно решение.
Если точка А совпадает с точкой В, то задача имеет бесконечно много решений, так как любая точка прямой d удовлетворяет условию.
Если отрезок А В оказывается параллельным прямой d, то решений нет.
Задача 6. Даны пересекающиеся прямые а и b и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удалённую от прямой на расстояние PQ.







Рис 12
Р Q
Рис.19
Анализ.
Допустим задача решена, т.е. точка X лежит на прямой а и удалена от прямой b на расстояние PQ =ХМ (рис.19).
Точки удалённые на данное расстояние от данной прямой лежать на прямой параллельной данной и отстоящей от неё на данное расстояние. Отсюда ясно как надо строить искомую точку.
Построение.
В любой точке прямой b, например, в точке А, восставим перпендикуляр к ней (рис.19), затем от точки А отложим на этой прямой по обе стороны от прямой b отрезок АВ₂= PQ и АВ₂ = PQ. Через точки В₁ и B₂ проводим прямые С₁ и С₁ параллельные прямой b, которые пересекут прямую а в точках Х₁ и Х₂ . Точки Х₁ и Х₂ - искомые, так как они лежат на прямой а и удалены от прямой b на данное расстояние PQ. Задача всегда имеет два решения, так как прямые а и b пересекающиеся.