"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 7. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
Решение: B

A C
Анализ.
Предположим, что задача решена. В ∆ABC АВ -данная сторона, <ВАС- прилежащий угол и AL-биссектриса. Треугольник ABL можно построить по двум сторонам АВ, AL и углу BAL между ними. (Далее ясно, как построить ∆ABC.
Построение.
Сначала строим угол А=a, затем проводим биссектрису угла. Отложим на стороне угла отрезок АВ=a, а на биссектрисе отрезок AL=l. Проводим прямую BL, которая пересечет другую сторону угла A в точке С.
∆ ABC - искомый.
Задача не имеет решение в том случае , если прямая BL окажется параллельной стороне А С, т.е., если BL и АС не пересекутся. Такое может случиться при некотором выборе длин отрезков a и l.
Задача 8. Постройте треугольник по стороне медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.
Решение:
Анализ. Пусть с,m_a - данные отрезки и <a-данный угол.
С

Рис.21

Допустим, что треугольник, удовлетворяющий условию задачи , построен . AM -медиана,  МАВ =a - данный угол, АВ=с - данный отрезок. Следовательно , ∆АМВ можем построить по двум сторонам и углу между ними. Затем можно построить искомый.
Построение: Строим сначала ∆АМВ по двум сторонам (АВ=с, АМ=m_a) и углу МАС=a между ними. Затем продолжим сторону ВМ и отложим отрезок МС=МВ. Соединим точки А я С, получим искомый ∆ABC.
Доказательство
∆ ABC есть искомый, так как АВ=с; АМ= m_a и <МАВ =a по построению. AM есть медиана ∆ABC, так как ВМ=СМ также по построению.
Исследование
Очевидно, что при 0<a< задача всегда имеет решение.
Задача 9. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к одной из этих сторон.
Решение:


рис.22
Анализ.
Допустим, что искомый треугольник построен. Три отрезка с=АВ, b=АС и h=CM нам даны. Нам надо построить ∆АВС. Так как CM AB, то ∆АМС прямоугольный. В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза АС и катет СМ данные отрезки. Следовательно, если мы построим ААМС, то мы сможем построить и ∆АВС-для этого нам надо продолжить AM за вершину М и от точки А отложить на прямой AM отрезок равный С. Получим вершину В. Соединив В и С, получим искомый ∆АВС.
Построение.
Из произвольной точки М прямой Р восставим перпендикуляр к ней. Отложим на этом перпендикуляре от точки М отрезок равный h (в одну сторону от прямой Р), получим точку С. Из точки С радиусом равным b опишем окружность, которая пересечёт (если b>h) прямую Р в точке А (она пересечёт в двух точках: возьмём точки с одной стороны от МС). Отложим от точки А в сторону точки М отрезок равный с. Получим точку В, ∆АВС -искомый.
Доказательство
Построенный ∆АВС удовлетворяет условиям задачи. Две стороны АС к АВ и высота СМ равны данным отрезкам по построению.
Исследование
Задача не имеет решения в случае, когда h> b (если рассматривать случай, когда высота проведена к стороне Ь, то h