Геометриянинг ривожланиш тарихидан. Координатлар усули ва содда масалалар. Таянч ибора ва тушунчалар

2. Координатлар усули ва содда масалалар. Маълумки, ўзаро перпендикуляр бўлган горизонтал ва вертикал сонлар ўқи Декарт тўғри бурчакли координатлар системасини ташкил қилади. Бу система орқали текисликдаги нуқта билан бир жуфт ҳақиқий сон ўртасида бир қийматли мослик ўрнатилади. Текисликда нуқта билан белгиланади. сонларга унинг координатлари дейилади. ,,Нуқта берилган” деган ибора унинг координатларининг берилганлигини, ,,Нуқтани топинг” деган ибора эса, шу координатларни топишни тушунилади. Координатлар системаси орқали ўрнатилган бундай мосликка координатлар усули дейилади.
Бу усулни геометриянинг содда масалаларини ечишга қўллаймиз.
1) Текисликда берилган ва нуқталар орасидаги масофани топиш талаб этилсин. Маълумки, , . тўғри бурчакли учбурчакдан, , шундай қилиб,
(1)
бўлади. (1) формулага текисликда берилган иккита нуқта орасидаги масофани топиш формуласи дейилади (1-чизма).

В

B

y



C


O

x

O

A₁

B₁

C₁

x

x

O

1-чизма 2-чизма 3-чизма

2) АВ кесма берилган бўлиб, унинг учлари ва бўлсин. кесмани нисбатда бўлувчи нуқтани топиш масаласи қўйилган бўлсин. Ўрта мактаб геометриясидан маълумки (2-чизма),
,
ёки

бўлиб,
,
бўлганлиги учун,
, ; ;
бўлади. Худди шундай ,
.
­ Демак, нуқтанинг координатлари учун
, (2)
формулани ҳосил қилдик. (2) формулага кесмани нисбатда бўлувчи нуқтани топиш формуласи дейилади. Хусусий ҳолда нуқта АВ кесмани тенг иккига бўлса, у ҳолда
бўлиб, ,
кесмани тенг иккига бўлиш формуласи келиб чиқади.
3) Тўғри бурчакли координатлар системасида учлари нуқталарда бўлган учбурчак юзи қуйидаги формула орқали топилади:
(3)


1-мисол. ва нуқталар орасидаги масофани топинг.
Ечиш. Шартга кўра: . Буларни (1) формулага қўйсак:

бўлади.


2-мисол. Текисликда , нуқталар берилган. АВ кесмани нисбатда бўлувчи нуқтанинг коорди-натларини топинг.
Ечиш. Шартга кўра .
(2) формулага асосан:
;
.
Шундай қилиб, бўлади.
3-мисол. Учлари ва нуқталарда бўлган учбурчакнинг юзини топинг.
Ечиш. (3) формулага кўра бўлганлиги учун,

бўлади.
4-мисол. ва нуқталар берилган. кесма нуқталар орқали 4 та тенг қисмларга ажратилган. бўлиниш нуқталарини топинг (3-чизма).
Ечиш: Маълумки , , .
нуқтанинг координатларини (2) формуладан фойдаланиб топамиз:
,
Демак, . ( ва нуқталарни топиш ўқувчига ҳавола этилади).