|
1–jumla [«Negizlar», 29 – jumla] ga perpendikulyar va teng chiziqlarni o‘tkazamiz. Agar ular parallel bo‘lsa, ni o‘tkazsak, u holda bo‘ladi.
2–jumla [«Negizlar», 30 – jumla] to‘rtburchakni tomonini teng ikkiga bo‘luvchi nuqtadan unga pernendikulyarni o‘tkazsak, u holda va perpendikulyar bo‘ladi.
3–jumla [«Negizlar», 31 – jumla ] to‘rtburchakda va –to‘g‘ri burchakli.
Ushbu jumla asosiy jumlalardan biri bo‘ladi, chunki bunda to‘rtburchak burchaklardan biri o‘tkir yoki o‘tmas bo‘lmasligi inkor etilgan.
4–jumla [«Negizlar», 32–jumla] to‘g‘ri to‘rtburchakda qarama – qarshi tomonlari teng.
5–jumla [«Negizlar», 33 – jumla] Bir to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar ikki to‘g‘ri chiziq quyidagi xossaga ega, ya’ni ulardan biriga perpendikulyar to‘g‘ri chiziq ularning umumiy perpendikulyari bo‘ladi .
6–jumla [«Negizlar», 34 – jumla] Evklid ta’rifiga ko‘ra parallel har qanday ikki to‘g‘ri chiziq, ya’ni davom ettirganda kesishmasa, u holda bir to‘g‘ri chiziqni ikki perpendikulyari bo‘ladi.
7–jumla [«Negizlar», 35 – jumla]. Agar ikki parallel to‘g‘ri chiziqlarni uchinchi to‘g‘ri chiziq bilan kessak, u holda ichki almashinuvchi burchak va mos burchaklar teng bo‘ladi, hamda ichki bir tomonlama burchaklar yig‘indisi ikki to‘g‘ri burchakli bo‘ladi.
Ushbu jumla Evklidning «Negizlar» asarini 1–kitobi 29 jumlasi bilan ustma – ust tushadi, ammo Umar Xayyom uni isbotlash jarayonida Evklidning parallellik aksiomasidan emas, o‘zining jumlalariga asoslanadi.
Va nihoyat Umar Xayyom 8 – jumlada postulatni isbotlashga urinadi.
8–jumla [«Negizlar», 36 – jumla] –to‘g‘ri chiziq berilgan. Bunda ikkita va to‘g‘ri chiziqlar shunday o‘tkazilsinki, hosil bo‘lgan va burchaklar birgalikda ikki to‘g‘ri burchakdan kichik bo‘lsin, U holda bu to‘g‘ri chiziqlar yotgan tomonda kesishadi .
Umar Xayyomning keltirilgan mulohazalari Prokl (yunon matematigi, asrlarda yashagan) isbotiga juda yaqin. Agar Umar Xayyomda kesishmaydigan va to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofa o‘zgarmasligi tushuntirilsa, Proklda oshkormas holda faraz qilingan. Uning bu yerdagi asosiy xatosi shundan iboratki, Umar Xayyom ham o‘tmishdoshlari kabi isbotlash jarayonida postulatga ekvivalent bo‘lgan 4 prinsipdan foydalangan.
Umar Xayyomning parallel to‘g‘ri chiziqlar nazariyasidagi asosiy xizmati shundan iboratki, geometriya tarixida,birinchi bo‘lib oshkor holda postulatni unga ekvivalent 4 – prinsip bilan almashtiradi, asoslardagi burchaklarning har biri to‘g‘ri va yon tomonlari o‘zaro teng bo‘lgan to‘rtburchak–Xayyom–Sakkeri to‘rtburchagidan foydalaniladi.
Rus olimi N.I.Lobachevskiy (1792– 1856) ham o‘zining geometriya asoslariga oid ishlarini postulatni isbotlashga urinishdan boshlagan. Bizga ma’lumki, postulatning ekvivalentlaridan biri berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan unga parallel bitta va faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin. Lobachevskiy postulatni quyidagi postulat bilan almashtirdi:
Berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan u bilan kesishmaydigan ikkita to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin.
Lobachevskiy ham bir–biriga zid bo‘lgan tasdiqlarni topishga harakat qiladi. Postulat va aksiomalar sistemasi yordamida «Negizlar» asaridagidek geometriya qurdi, lekin hech qanday ziddiyatga uchramadi. Shundan so‘ng, Evklid geometriyasidan farqli geometriya mavjud va bu geometriyada postulat o‘rinli emas degan fikrga (1826 y) keldi.
Lobachevskiy Evklid geometriyasidan farqli geometriya mavjud degan birinchi geometrik edi. Lekin K.Gauss (1777–1855) ham yangi geometriya mavjud degan fikrni zamondoshlariga yozgan xatida bildirgan edi.
Lobachevskiy ishlari e’lon qilingandan uch yil o‘tgach, venger matematigi Yanosh Bolyai (1802–1860) Lobachevskiy ishlaridan boxabar ravishda yangi geometriya mavjudligini va ba’zi natijalarini e’lon qildi.
Noyevklid geometriyasining zidsizligi aniqlangandan so‘ng, postulatni isbotlash muammosi to‘liq yechildi deyish mumkin. Lobachevskiy geometriyasining Beltrami (1849–1925), Puankare (1854–1912) talqinlarida Noyevklid geometriyasining zidsizligi haqiqiy sonlar aksiomatikasining zidsizligiga teng kuchli ekanligi isbotlangan.
Do'stlaringiz bilan baham: |
