Guruh talabasi Qabul qildi: To’xtasinova Nafisa. Farg’ona 2022 Lobachevskiy geometriyasi reja: kirish I bob. Noyevklid geometriyasi

2.2-§. Uzoqlashuvchi to’g’ri chiziqlar.
11-teorema. Bitta to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan ikki to’g’ri chiziq uzoqlashuvchidir.
Isbot. to’g’ri chiziq to’g’ri chiziqlarga perpendikulyar bo’lsin. 11–§ dagi 29–teoremaga asosan bilan kesishmaydi (21–chizma). Lobachevskiy ma’nosida bilan parallel emas, chunki bu holda parallellik burchagi bo’ladi. Demak, va to’g’ri chiziqlar yaqinlashuvchi ham emas, parallel ham emas.
12-teorema. Ikki to’g’ri chiziq bilan uchinchi to’g’ri chiziq kesishib, hosil qilingan mos burchaklar teng bo’lsa, bu to’g’ri chiziqlar uzoqlashuvchi bo’ladi.
Xullas, Evklid ma’nosidagi parallel to’g’ri chiziqlar Lobachevskiy ma’nosida uzoqlashuvchidir.
13-teorema. Uzoqlashuvchi ikki to’g’ri chiziq yagona umumiy perpendikulyarga ega bo’lib, bu perpendikulyarning ikki tomonida ular bir-biridan yetarlicha uzoqlashadi.
Isbot. Ikki uzoqlashuvchi to’g’ri chiziq ikkita umumiy perpendikulyarga ega bo’lolmaydi, aks holda hamma burchaklari dan iborat to’g’ri to’rtburchak hosil qilinar edi, bu esa 13-§dagi 5-teoremada chiqqan 1-natijaga ziddir. Endi umumiy perpendikulyarning mavjudligini isbotlaymiz. va to’g’ri chiziqlar uzoqlashuvchi bo’lsin . ning ixtiyoriy nuqtasini olib, undan ga parallel va to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz. va larni tekshiraylik. Bulardan biri, masalan, o’tkir bo’lib, ikkinchisi, o’tkir, to’g’ri va o’tmas
8-rasm.
bo’lishi mumkin (chizmada ikkala burchak o’tkir bo’lgan hol ko’rsatilgan). Bu vaqtda 14-§dagi 10-teoremaga asosan ning tomoniga perpendikulyar va tomoniga parallel to’g’ri chiziq mavjuddir, u holda bo’lgani uchun 8-teoremaga asosan . Shuning singari ning boshqa yo’nalishida unga parallel bo’lgan ni topamiz. kesmaning o’rta nuqtasi dan ga perpendikulyar ni o’tkazamiz. Endi ning ga umumiy perpendikulyarligini isobtlaymiz. Buning uchun dan ning ikki yo’nalishiga parallel qilib to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz; bo’lgani uchun (8-teoremaga asosan) va burchaklar ham parallellik kesmasi ga mos kelgani uchun: Demak kesma ga umumiy perpendikulyar ekan.
E ndi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaylik, ya’ni uzoqlashuvchi ikki to’g’ri chiziqning umumiy perpendikulyardan ikkala tomonga qarab bir-biridan yetarlicha uzoqlashishini ko’rsataylik. to’g’ri chiziqdagi nuqta nuqtadan shu to’g’ri chiziq bo’ylab ma’lum yo’nalishda yetarlicha uzoqlashsin (23-chizma). dan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tushirib, uning bilan kesishgan nuqtasini bilan belgilaylik. nuqtadan to’g’ri chiziqdagi nuqtadan ga qarab yo’nalishida parallel to’g’ri chiziqni o’tkazaylik. Ravshanki, bo’lgani uchun nur bilan orasida to’liq joylashadi va kesma bilan biror nuqtada kesishadi. nuqta bilan orasida yotgani uchun
9-rasm.


nuqta bo’ylab harakatlanganda nuqta nur bo’yicha harakatlanadi. nuqta ham o’tkir burchakning bir tomonida dan yetarlicha uzoqlashganda kesma ham yetarlicha kattalashadi, u holda ga asosan ham cheksiz kattalashadi.
umumiy perpendikulyarning har ikki tomonida to’g’ri chiziqlar bir biridan uzoqlashib ketadi.