Guruh talabasi Qabul qildi: To’xtasinova Nafisa. Farg’ona 2022 Lobachevskiy geometriyasi reja: kirish I bob. Noyevklid geometriyasi

II BOB. LOBACHEVSKIY GEOMETRIYASI
2.1-§. Lobachevskiy tekisligidagi parallel to’g’ri chiziqlar

Lobachevskiy geometriyasining Evklid geometriyasidan yana bir asosiy farqi tekislikdagi to’g’ri chiziqlarning joylanishida yuz beradigan yangi hollardan iborat. Evklid geometriyasida bir tekislikdagi umumiy nuqtaga ega bo’lmagan to’g’ri chiziqlar parallel deyiladi. Lobachevskiy tekisligida esa parallel to’g’ri chiziqlarni boshqacha ta’riflashga to’g’ri keladi. 13-§ dagi 1-teoremaga asosan to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p to’g’ri chiziq o’tadi. Demak, markazi nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasi ikki sinfga ajraladi. Birinchi sinfga dastaning to’g’ri chiziq bilan kesishadigan barcha to’g’ri chiziqlarini, ikkinchi sinfga esa dastaning qolgan hamma to’g’ri chiziqlarini kiritamiz. (Ravshanki, ikkala sinfga ham cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar mavjud.) nuqtadan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tushiraylik (17–chizma) hamda to’g’ri chiziqda yo’nalishni aniqlab olaylik. to’g’ri chiziqlar birinchi sinfga tegishlidir. bo’lsin, ravshanki . nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab aniqlangan yo’nalishda harakatlanib borsa, to’g’ri chiziq doimo birinchi sinfga tegishli bo’lib boraveradi, u holda burchak ham borgan sari kattalashib boraveradi, lekin doimo dan kichikligicha qoladi. Shunday burchaklar to’plamini deb belgilaylik; u chegaralangan cheksiz to’plam bo’lganligi sababli, aniq yuqori chegaraga egadir. Uchi nuqtada bir tomoni nurdan iborat burchakning ikkinchi tomoni nurni hosil qiladi. to’g’ri chiziq quyidagi xossalarga ega:

to’g’ri chiziq bilan kesishmaydi. Haqiqatan ham ularni biror nuqtada kesishadi deb faraz qilsak, to’g’ri chiziqda nuqtadan o’ng tomonda undan farqli nuqtani olib, to’g’ri chiziqni o’tkazsak, to’g’i chiziq birinchi sinfga tegishli bo’lib, ham ga tegishli bo’ladi, lekin Buning bo’lishi mumkin emas, chunki burchak ning aniq yuqori chegarasi.
nuqtadan o’tib, bilan dan kichik burchak hosil qilgan har qanday to’g’ri chiziq bilan kesishadi, chunki bu vaqtda u to’g’ri chiziq birinchi sinfga tegishli bo’ladi.
Lobachevskiy yuqoridagi ikki xossaga ega bo’lgan shunday to’g’ri chiziqni to’g’ri chiziqqa berilgan yo’nalishda parallel deb ataydi. Demak, Lobachevskiy geometriyasida parallel to’g’ri chiziqlar tushunchasi boshqacha ta’riflanadi: berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqa roppa-rosa ikkita parallel to’g’ri chiziq o’tadi, bulardan biri bilan bir xil yo’nalishda, ikkinchisi esa qarama-qarshi yo’nalishdadir. Evklid geoemetriyasidagi kabi parallel to’g’ri chiziqlarni bilan belgilaymiz.
Xulosa qilib aytish kerakki, Lobachevskiy tekisligidagi to’g’ri chiziqda yotmagan nuqtadan o’tgan barcha to’g’ri chiziqlar ikki sinfga ajralib, birinchi sinfga bilan kesishadiganlari, ikkinchi sinfga esa bilan kesishmaydiganlari kiradi; bu ikkinchi sinfga qarashli to’g’ri chiziqlar uzoqlashuvchi deyiladi. Bu ikki sinf to’g’ri chiziqlarini ajratib turuvchi to’g’ri chiziqlarni ga parallel deb ataymiz. –parallellik burchagi, shu burchakka mos parallellik kesmasi deb ataladi.
Endi parallel to’g’ri chiziqlarning ba’zi xossalariga to’xtab o‘taylik: parallel to’g’ri chiziqlarga ta’rif berilganda nuqta maxsus rol o’ynagan edi, hozir bu nuqta o’rniga to’g’ri chiziqdagi boshqa nuqtani olsak ham parallellik ta’rifiga xalal yetmasligini ko’rsatamiz.