I bap klassikalıq Shur teńsizligi 1 Dáslepki túsinikler hám belgilewler Vektor keńislikler

1.1-teorema. Meyli bolsın. Onda
(1.4)
orınlı boladı.
bul elementleri ólshemli bir tekli sızıqlı teńlemeler sistemasın qanaatlandıratuǵın degi vektorlardıń kópligi bolıp esaplanadı.
Matrica ústinde ámeller. Matricalardıń qosındısı birdey ólshemli matricalar ushın kiritilgen bolıp sáykes elementlerin qosıw arqalı anıqlanadı hám (" ") arqalı belgilenedi. Bul qosıw sızıqlı sáwlelendiriwlerdi qosıwǵa mas keledi, hám skalyar maydannan kommutativlik hám associativlik qásiyetlerdi miyras etip aladı. Birlik matrica (barlıq elementleri nolden ibarat) qosıwǵa qarata birlik element boladı Birlik matricanı arqalı belgileymiz. Matricalardıń kóbeymesi (" ") arqalı belgilenip sızıqlı sáwlelendiriwlerdiń kompoziciyasına mas keledi. Sonlıqtan, bul kóbeyme hám bolǵanda anıqlanǵan. Kóbeyme associative, biraq barlıq waqıtta kommutativ bolabermeydi. Máselen,

Birlik matrica

de kóbeytiwge qarata multiplikative; onıń diagonal elementleri 1 ge ,qalǵanları 0 ge teń. Birlik matrica degi barlıq matricalar menen kommutativ bolatuǵın birden bir matrica bolıp tabıladı. Matricalardı kóbeytiw matricalardı qosıwǵa qarata distributiv.
Transponirlew, matricanıń túyinlesi hám izi. Meyli bolsın, elementi ǵa teń bolǵan hám kórinisinde belgileniwshi matricasına transponirlengen matrica deymiz. matricasınıń transponirlengen matricası onıń qatarların baǵanaları menen almastırıwdan alınadı. Máselen,

Álbette, orınlı boladı. Meyli hám element boyınsha túyinles matrica bolsın, eger matricası teńligin qanaatlandırsa , onda onı matricaǵa túyinles deymizy. Máselen,

Transponirlew hám túyinlesin alıw ámelleri keri-tártip nızamına boysınadı: hám . Element boyınsha túyinles matricalardı kóbeytiw kóbeytiwshilerdiń ornıń ózgertpeydi: . Eger lar birdey ólshemli haqıqıy yamasa kompleks vektorlar bolsa, onda skalyar boladı hám túyinlesi hám kompleks túyinlesi teń boladı: .
Matricalardıń kóp ǵana áhimiyetli túrleri transponirlew hám túyinles ámellerine qarata teńlikler menen anıqlanadı. Máselen, matricası bolsa simmetrik , bolsa anti simmetrik, hám bolsa ortogonal delinedi; matricası bolsa Ermit, bolsa anti Ermit , bolsa unitar, hám bolsa normal matrica dep ataladı .
Qatar yaki baǵana boylap minor boyınsha Laplas jayılması. matricasınıń determinantın induksiya arqalı tómendegishe jol menen anıqlanıwı múmkin. Meyli uyǵarayıq, determinant ústinde anıqlanǵan hám meyli matricası matricasınıń qatarı menen baǵanasın óshiriwden alınǵan úles matricası bolsın. Onda, ushın tómendegige iye bolamız
(1.5)
Birinshi qosındı qatarı boyınsha Laplas jayılması ; ekinshi qosındı baǵana boyınsha Laplas jayılması. Induksiya jalǵız elementke iye matricanıń determinantın anıqlawdan baslanadı. Sonlıqtan,

h.t.b. Itibar qaratamız, , eger bolsa orınlı boladı . Birlik matricanıń determinantı 1 ge teń: .
Rang. Meyli bolsın. arqalı matricasınıń sızıqlı ǵarezsiz baǵanalarınıń múmkin bolǵan maksimal sanın belgileymiz. Matricanıń bir neshe sızıqlı ǵarezsiz baǵanalar sanı onıń rangine teń bolıwı múmkin. Atap ótiw kerek . Sonlıqtan, ekvivalent anıqlama sıpatında matricasınıń sızıqlı ǵarezsiz qatarlarınıń múmkin bolǵan maksimal sanın alıw múmkin: .
Aynımaǵan matricalar. Eger 0 mánisi tek ǵana 0 de kelip shıqsa, bunday sızıqlı sáwlelendiriw yamasa matricaǵa aynımaǵan delinedi. Keri jaǵdayda, aynıǵan delinedi. Meyli matricası berilgen bolsın. Eger, sonday matricası bar bolıp bolsa onda matricası kerileniwshi delinedi. Eger hám bolsa, onda ; yaǵnıy, shep jaq kerisi bolsa tek hám tek sonda ǵana oń jaq kerisi boladı; matricası bar bolsa, onda ol birden bir boladı.
Kvadrat matricanıń aynımaǵan bolıwı kóplegen paydalı qásiyetlerge iye bolıw múmkinshiligin beredi. Tómendegiler aytımlar berilgen matricası ushın ekvivalent:
(a) matricası aynımaǵan.
(b) bar boladı.
(c) .
(d) matricasınıń qatarları sızıqlı ǵarezsiz.
(e) matricasınıń baǵanaları sızıqlı ǵarezsiz.
(f)
(g) .
(h) .
(i) Hár bir ushın úzliksiz(consistent) boladı.
(j) Eger úzliksiz bolsa, onda sheshim birden bir.
(k) Hár bir ushın birden bir sheshimge iye boladı.
(l) ushın jalǵız sheshim .
(m) 0 sanı matricasınıń menshikli sanı bolmaydı.
(g) hám (h) shártleri shekli ólshemli vektor keńisliktegi sızıqlı sáwlelendiriw ushın ekvivalent. degi aynımaǵan matricalar gruppa dúzedi , bul gruppanı kópshilik jaǵdayda kóriniste belgileymiz.
Eger aynımaǵan bolsa, onda , yaǵnıy , bul bolsa ekenin bildiredi. yamasa nıń ornına sıyaqlı jazıw qolaylı.Eger aynımaǵan bolsa, onda , hám biz bunı kóriniste jazamız.
Evklid ishki kóbeymesi hám norma. Skalyar shaması lerdiń Evklid ishki kóbeymesi (standart kóbeyme, skalyar kóbeyme) dep ataladı. funksiyasına degi Evklid norması deymiz; bul funksiyanıń eki áhimiyetli qásiyeti bular:1)barlıq nolden ózgeshe lar da ; 2) barlıq hám barlıq larda orınlı boladı.
Ortogonallıq hám ortonormallıq. Meyli vektorlar berilgen bolsın. Eger bolsa , onda bul vektorlar ortogonal delinedi. hám de, "ortogonallıq" geometriyalıq jaqtan perpendikulyarlıq mánisin beredi. Meyli vektorlar kópligi berilgen bolsın. Eger barlıq óz-ara teń bolmaǵan larda orınlı bolsa, onda bul vektorlar kópligi ortogonal delinedi . Nolden ózgeshe ortogonal vektorlar sızıqlı ǵarezsiz boladı. Evklid norması 1 ge teń bolǵan vektor normallanǵan(birlik vektor) delinedi. Qálegen nolden ózgeshe vektor ushın, birlik vektor boladı. Ortogonal vektorlardıń kópliginıń hár bir vektorı birlik vektor bolsa, onda ol ortonormal vektorlar delinedi . Ortonormal vektorlar óz-ara sızıqlı ǵarezsiz boladı.
Koshi-Shvarc teńsizligi. Meyli bolsın. Koshi-Shvarc teńsizligi tómendegishe:
(1.6)
. Koshi-Shvarc teńsizliginde teńlik belgisi vektorlardıń biri basqasınıń skalyar kóbeymesine teń bolsa tek hám tek sonda ǵana orınlanadı. Eki haqıqıy nolden ózgeshe vektorlarınıń arasındaǵı múyeshi tómendegishe anıqlanadı:
(1.7)
Bóliniwge iye kóplikler hám matricalar. Meyli bazı bir kópligi berilgen bolsın. kópliginiń hár bir elementi tek hám tek bir márte aǵza bolatuǵınday etip kópliginiń úles kóplikleri sistemasın alsaq, onda bul sistemaǵa tiń bóliniwi deymiz. Máselen, berilgen bolıp, (indeks kóplikleri dep ataladı) kóplikler sistemasın bolsın. Eger 1 hám arasındaǵı pútin san indeks kóplikleriniń bir hám tek birewine aǵza bolsa onda ol kópliginiń bóliniwi boladı. Eger kópligin formasında bólsek, bunday bóliniw izbe-izli bóliniwi delinedi.
Matricanıń bóliniwi dep onı sonday úles matricalarǵa ajıratıwǵa aytıladı, bunda original matricanıń hár bir elementi úles matricalardıń tek hám tek birewine tiyisli boladı.
Meyli berilgen bolsın. hám indeks kóplikleri ushın, arqalı, elementleri matricanıń indeksleri da jatqan qatarlarında hám indeksleri da jatqan baǵanalarındaǵı elementlerinen ibarat úles matricanı belgileymiz. Máselen,

Eger bolsa, matricası matricanıń bas úles matricası delinedi. ólshemli matrica ólshemli dana túrlishe bas úles matricaǵa iye boladı.
hám ushın, bul jetekshi bas úles matrica boladı.
Kópshilik jaǵdayda bas úles matricanı qatar hám baǵanalrın biriktiriwden góre óshiriw arqalı kórsetiw qolaylı. Bul indeks kópliginiń tolıqtırıwshısı járdeminde ámelge asırılıwı múmkin. Meyli hám ler sáykes túrde hám indeks kóplikleriniń tolıqtırıwshıları bolsın. Onda matricası arqalı indekslengen qatarlardı hám arqalı indekslengen baǵanalardı óshiriw járdeminde alınadı . Máselen, úles matricası matricasınıń arqalı indekslengen qatarlarınan ibarat; úles matricası matricasınıń arqalı indekslengen baǵanalarınan ibarat.
matricanıń ólshemli úles matricasınıń determinantı minor delinedi; eger biz úles matricanıń ólshemin kórsetiwdi qálesek, bul determinanttı ólshemli minor deymiz. Eger r úles matrica bas úles matrica bolsa, onda onıń determinantı bas minor; eger jetekshi úles matrica bolsa, onda onıń determinantı jetekshi minor delinedi. Qolaylıq ushın, bos bas minor 1 ge teń dep uyǵarıladı; yaǵnıy, .
(1.1) degi Laplas jayılmasındaǵı minorın kofaktor deymiz; eger biz úles matricanıń ólshemin kórsetiwdi qálesek, bul determinanttı r ólshemli kofaktor deymiz.
Eger onıń baǵanaları hám qatarlarınıń izbe-izli bóliniwine iye bolsa, bóliniw matricası blok matrica delinedi.
Tolıqtırıwshı hám keri matrica. Eger hám bolsa, onıń kofaktorın transponirlewden alınǵan
(1.8)
matrica onıń tolıqtırıwshısı delinedi; bunı matricasınıń klassikalıq túyinlesi dep te ataydı. Máselen,

Laplas jayılmasın qollana otırıp determinanttı esaplaǵanda tolıqtırıwshınıń bazı bir baslanǵısh qásiyetleri kelip shıǵadı:
(1.9)
Solay etip, aynımaǵan boladı eger aynımaǵan bolsa, hám de .
Eger aynımaǵan bolsa, onda
(1.10)
Máselen, eger bolsa. Dara jaǵdayda, .
Matricalardıń arnawlı túrleri. matricası diagonal matrica delinedi eger bolsa. Barlıq diagonal elementleri oń (teris emes) haqıqıy bolǵan matricanı oń (teris emes) diagonal matrica deymiz. Oń diagonal matrica termini diagonalında oń haqıqıy sanlar bolǵan diagonal matricanı bildiredi; onı diagonalında oń sanlar bolǵan ulıwma jaǵdaydaǵı matrica menen aljastırmaw kerek. birlik matricasınıń oń diagonal matrica boladı. Eger kvadrat diagonal matricasınıń bas diagonal elementleri teń bolsa, onda ol skalyar matrica delinedi , yaǵnıy, bazı bir ushın . Matricanı skalyar matricaǵa kóbeytiw onı sanǵa skalyar kóbeytiwge teń kúshli.
Eger hám bolsa, onda arqalı matricasınıń diagonal elementleriniń vektorın belgileymiz.
Eger matricasında diagonal bloktıń joqarısındaǵı hám tómengi tárepindegi barlıq bloklar nol bloklar bolıp, matricası tómendegishe

kóriniste bolsa, onda ol blok diagonal matrica delinedi, bul jerde . Bunday matricanı tómendegishe jazǵan qolaylı

Bul matricalaranıń tuwrı qosındısı bolıp esaplanadı. Blok diagonal matricalardıń kóplegen qásiyetleri diagonal matricalardıń qásiyetlerin ulıwmalastırıwdan kelip shıǵadı. Máselen, , solay etip, eger matricaları aynımaǵan bolsa tek hám tek sonda ǵana matrica aynımaǵan boladı. Meyli ólshemleri birdey bolǵan hám matricaları berilgen bolsın. Eger hár bir da hám juplıq kommutativ bolsa, tek hám tek sonda ǵana olardıń tuwrı qosındılarınan ibarat hám matricaları kommutativ boladı . Sonday-aq, orınlı boladı.
Eger hám lar aynımaǵan bolsa, onda hám , usı tárizde dawam etsek tómendegige iye bolamız
(1.11)
Orın almastırıw matricaları. Eger kvadrat matricasında qatarı hám baǵanasında anıq bir elementi 1 ge teń , al qalǵanları 0 ge teń bolsa, onda ol orın almastırıw matricası delinedi. Bunday matricaǵa kóbeytiw kóbeyiwshi matricanıń qatarı yamasa baǵanasınıń orın almasıwına alıp keledi. Máselen, tómendegi mısal orınalmastırıw matricası vektordıń qatarların qalay orın almastırıwın súwretleydi:

bul birinshi elementti ekinshi orınǵa ótkeredi, ekinshi elementti birinshi orınǵa ótkeredi, hám úshinshi elementti óz ornında qaldıradı. matricasına shep tárepten ólshemi bolǵan orın almastırıw matricasın kóbeytiw onıń qatarların orın almastıradı , al, oń tárepten ólshemi bolǵan orın almastırıw matricasın kóbeytiw onıń baǵanalarınıń orın almastıradı. Matricanıń qatarları yamasa baǵanaları ústinde bir dana elementar almastıratúǵın orınalmastırıw matricası transpoziciya delinedi. Qálegen orınalmastırıw matricası transpoziciyalardıń kóbeymesine teń. Orınalmastırıw matricasınıń determinantı ge teń, solay etip, orınalmastırıw matricaları aynımaǵan boladı. Orınalmastırıw matricalaranıń kóbeymesi jáne orınalmastırıw matricası boladı. Hár bir orınalmastırıw matricası ushın orınlanadı.
1.2 Menshikli sanlar, menshikli vektorlar hám matricalardıń uqsaslıǵı.
Menshikli san hám menshikli vektor. matricasın nen ne ótkeriwshi sızıqlı sáwlelendiriw dep túsiniw múmkin, atap aytqanda,
(1.12)
biraq onı sanlardıń kestesi dep túsiniw de qolaylı. Bul eki túsiniwdiń arasındaǵı baylanıs, hám sanlardıń kestesi járdeminde sızıqlı sáwlelendiriw haqqında alınatuǵın maǵlıwmatlar, matricalar analiziniń oraylıq teması hám qollanılıwlardıń gilti bolıp esaplanadı. Matricalar analiziniń fundamental konsepciyası bul kompleks kvadrat matricanıń menshikli sanları kópligi bolıp esaplanadı.