I kirish i-bob. Chegirmalar sistemasi 1 Keltirilgan chegirmalar sistemasi

II-BOB. Chegirmalar sinflari xalqasi

2.1 Taqqoslama va uning xossalari. ℤ_m halqa xaqida

Talabalarda taqqoslama va uning xossalari, ℤ_m halqa, chegirmalar sinflari, Eyler va Fermaning kichik teoremasi haqida  bilim va ko’nikmalarni shakllantirish.

Bizga    xalqada   va   sonlar va qandaydir  son berilgan bo’lsin.

         TA’RIF 20.1 Agar   va   sonlarini     ga  bo’lgandagi qoldiqlari teng bo’lsa,   va   sonlar   son bilan yoki   modul bo’yicha taqqoslamada deyiladi va  yoki  shakllarda yoziladi.

         Masalan,  ,   sonlari   modul bo’yicha  taqqoslanadi, chunki   va   va demak,  .

         Agar   va   sonlarni   songa bo’lganda har xil teng emas qoldiqlar hosil bo’lsa,   va   sonlarni   bo’yicha taqqoslanmaydi deyiladi va   shaklda yoziladi. Masalan,  ,   sonlari    modul bo’yicha  taqqoslanmaydi, chunki   va   bo’ladi  va demak,  .

         TEOREMA 20.2 Agar   va   sonlar   son bilan yoki   modul bo’yicha taqqoslansa, u holda   soni   ga bo’linadi.

         Isbot. Haqiqatan,   va   sonlar   ga qoldiqli bo’lamiz:

 va  , .

U holda   bo’ladi va demak,   son   ga bo’linadi. Hamma   soniga karrali bo’lgan sonlar  to’plami    bo’ladi. U holda bu to’plamga nisbatan binar munosabat bo’ladi, chunki   modul bo’yicha taqqoslamalaga ixtiyoriy  sonlar uchun  .

         TEOREMA 20.3   to’plamda   modul bo’yicha kiritilgan binar munosabat ekvivalentlik munosabati bo’ladi.

         Isbot. Ekvivalentlikning uchta xossalarining o’rinli bo’lishligini ko’rsatamiz:

         1.  ,chunki      ga bo’ltnadi va demak  ~

         2.Agar   bo’lsa, u holda   bo’ladi, chunki   son   ga bo’linsa,   soni ham   ga bo’linadi va demak,  ~  dan   ~ kelib chiqadi.

  Agar   va  Agar   bo’lsa, u holda  , chunki   va   sonlar   ga bo’linsa,    son ham    ga, bo’linadi va dempk,  ~ ,   ~  dan  ~  kelib chiqadi.

         Bu ekvivalentlik munosabati   to’plamni   modul bo’yicha kesishmaydigan sinflarga ajratadi va bu sinflarga chegirmalar sinflari deyiladi,   munsabat esa taqqoslama deyiladi.

         Shuni ta’kidlash kerakki,   ayirma   ga bo’linsa,    va   sonlarni   ga bo’lgandagi qoldiqlari teng bo’ladi (tekshiring) va demak,   modul bo’yicha har bir chegirmalar sinfi   ga bo’lingandi bir xil qoldiq beradigan barcha butun sonlardan iborat. Butun son   ga bo’linganda faqat   sonlarini qoldiq sifatida  paydo bo’ladi va demak,   modul bo’yicha barcha  chegirmalar sinfi   ta bo’ladi. Biz chegirmalar sinfini   ga bo’lgandagi  qoldig’i 0 bo’ladigan   bilan, qoldig’i 1 ga bo’ladigani   va hokazo qoldig’i    ga bo’ladiganini   belgilab olamiz. Ko’rinib turibdiki,   dir.   to’plamnining   modul bo’yicha turli  chegirmalar sinfi faktor to’plam bo’lib, u   to’plamdan iboratdir. Shuni ta’kidlaymizki,   modul bo’yicha  chegirmalar sinflarining ta’rifidan   munosabat  munosabatga teng kuchlidir.

         Endi taqqoslamaning asosiy hossalarini keltiramiz.

         XOSSA 20.4 Bir xil modulli taqqoslamalarni hadlab qo’shish mumkin.

         Isbot. Bizga   modul bo’yicha    va  taqqoslamalar berilgan bo’lsin. U holda   va   yig’inidilar ham   modul bo’yicha taqqoslanadi, chunki   va   bo’lishligidan   bo’ladi va demak,