Коллинеаций. Инверсия

ЧАСТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №50»
ОТКРЫТОГО АКЦИОНЕРНОГО ОБЩЕСТВА «РОССИЙСКИЕ ЖЕЛЕЗНЫЕ ДОРОГИ»

Инверсия

Выполнила: Патрина В. А.
Учитель математики
Ерофей Павлович,
2018
Содержание

1. Введение …………………………………………………………… 3

2. Инверсия …………………………………………………………… 6
3. Свойства инверсии ………………………………………………… 9
4. Теоремы инверсии ………………………………………………… 15
5. Последствия инверсии ……………………………………………. 17
6. Практическое применение инверсии ……………………………. 19
7. Заключение ……………………………………………………...… 28
8. Список литературы ………………...…………..………………… 30

1. Введение
Геометрические построения являются существенным фактором математического образования; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Так как в геометрии основную роль играют различные преобразования фигур, основой решения целого ряда геометрических проблем является удачное применение того или иного преобразования плоскости. При этом использование какого-либо преобразования считается удачным, если образы рассматриваемых фигур поддаются простому геометрическому анализу.
В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые преобразуются в прямые, а окружности – в окружности. Такие преобразования объединяются под общим названием коллинеаций.
Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего, относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей. Инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной геометрии и так называемой высшей геометрии - интерпретация геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости. Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее, с простейшими функциями, аргументом и значениями которых являются комплексные числа. Применение преобразования инверсии при решении задач на построение и доказательство позволяет решить ряд задач, которые трудно решить с помощью других методов решения подобных задач.
Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая геометрия Евклида (3 век до нашей эры) была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом циркуль и линейка рассматривались как равноправные инструменты; было совершенно безразлично, как выполнять отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или одного циркуля, или одной линейки. Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки, например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной точке относительно данной прямой и т.д. Было обращено внимание на тот факт, что при резьбе на тонких металлических пластинках, при разметке делительных кругов астрономических инструментов пользуются, как правило, одним только циркулем. Последнее, вероятно, и послужило толчком к исследованию геометрических построений, выполняемых одним лишь циркулем.
В 1797 году итальянский математик, профессор университета в Павии Лоренцо Маскерони опубликовал большую работу «Геометрия циркуля», которая позже была переведена на французский и немецкий языки. В этой работе было доказано следующее предположение: «Все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним только циркулем».
В 1831 году Людвиг Иммануэль Магнус (Ludwig Immanuel Magnus) опубликовал статью об инверсных преобразованиях, где впервые стал рассматривать особый тип преобразования точек на плоскости, которое получило название симметрии относительно окружности или инверсии (от лат. inversio - обращение). Практическая польза этого преобразования в том, что зачастую оно позволяет свести решение геометрической задачи с окружностями к решению соответствующей задачи с прямыми, которая обычно имеет гораздо более простое решение.
Метод инверсии (метод обратных радиусов, метод обращения) является мощнейшим среди методов решения задач на построение, которые могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника, ведь ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение.
В конце 19 столетия это утверждение было оригинальным способом доказано с помощью инверсии А. Адлером (1890 год). Он также предложил общий метод решения геометрических задач на построение одним лишь циркулем. А. Адлер применил принцип инверсии к теории геометрических построений одним циркулем. С помощью этого принципа он установил в геометрии циркуля общий способ решения задач на построение.
Что же такое инверсия и как она применяется при решении задач на построение? Как выполнить такое построение? Как строить чертежи одним циркулем?
В данной работе дано определение инверсии, рассмотрены некоторые построения с помощью инверсии.